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dere und stärker convorgirende Reihen lierlcitcn. So wird z, B.für 2«.-fZ> = 45 ° und tanga = 7, wofür man tangb = f

findet; -~ 2 (~ -— + . . + (J. - +

4 \ l • 3 3.35 3 -7 3 )

Für 4 a + b — 45 ° und tanga = 7, wozu tangb = — 775

gefunden wird, erhält man: — = 4l -- U... )

4 \ 1 .5 3.5 3 J

M o i <> r e s c h e Formel.

§. 306 . A us den Gleichungen 1 ) und 2 ), $. 3oo,folgt, fortwährend \f — 1 =i gesetzt:

a) cos x + i sinx = ei ix .

Eben so ist auch cosy + i siny — mithin, wenn

man diese beiden Gleich, mit einander multiplicirt:b) (cos x + i sin x)(cosy + i siny) = cos (x-\-y) + i sin (x-j-y).

Setzt man in a) x + 27’jr statt x , wo r jede ganzepositive Zahl bezeichnen soll; so erhält man wegencos (x + 2f7r) = cosx und sin (x + 2 rx) = sinx,

sofort: cosx + i sin x = e i *i 2 ' -71 ’, und wenn dieseGleich, zur n. Potenz erhoben wird, wo n jeden Werthhaben bann: ( cosx + i sinx ')’ 1 = e i "* i 2, ’ K ) ? U nd end-lich mit Berücksichtigung der Gleich, a), wenn man in der-selben n(x + zr^) statt x setzt:

1) (cos x + i sin x) n — cos n (x + 2 rx) + i sin n (x + 2rx),welche Formel unter dem Namen der Mo i o r e’ sehen be-kannt ist*).

§. 807 . Ist in dieser Formel 1 ) n eine ganze Zahl,so erhält man für die Entwickelung (da cos und sin n (x + 2rx)= cos und sinnx wird), wie es seyn soll, nur einen

Werth. Ist dagegen « =— ein zur kleinsten Benennung

*) Eigentlich verstand man darunter, selbst bis auf die neuesteZeit, die speciellerc : (cos x + i sin x) n — cos nx + i sin nX,welche aber nur für ganze Zahlen von n gütig ist.