180

§. 808. Für x = o und x = x erhält man aus derGleichung 1 ), § 3o6, beziehungsweise:

2 ) ( 4 *')” = coszrnx + isinzrnx ,

3 ) (—i) n = cos (zr-\-1) n x + i sin ( 2 r-)- 1) n * 1und es gilt auch von diesen beiden Formeln das eben An-geführte. Man erhält nämlich, sowohl für (-}- l)" als für(— 1 )% nur einen Werth, wenn n eine ganze Zahl,

dagegen m Werthe, wenn n = - - ist, und zwar dadurch,

m

dafs man nach und nach r = o, 1 , 2 ,...— oder ——-

2 2

setzt, je nachdem m gerad oder ungerad ist.

, §. 809. Setzt man in der Relat. b ), §.3o6, nx statt

x und j = + zmx, so erhält man(cos nx ± i sin nx) ( cos Zmx 4* i sin 2 r n 7t)

= cos n (x + 2 r 7t) + i sin n (x + 2 r ?r),nämlich dasselbe Resultat, wie in der Formel 1 ), 3o6,

so, dafs sich also diese letztere, mit Rücksicht auf dievorige Gleich. 2 ), auch so darstellen läfst:

4) ( cos x + i sinx) n = (-f- i) n (coi/:a: + i sinnx).

Aus dieser letztem Formel folgt auch noch für x = xi

5) (— i) n = ( 4 - t) n (cos nx + i sinnx),

und man erhält sonach aus diesen beiden Formeln, wenn

n=s - ist, die m verschiedenen Werthe, indem man denm

Werth von cosnx + i sinnx und cos n x + i sinnx nachund nach mit den m verschiedenen [aus 2 ) zu findenden]

t

Werthen von (4~ i) m multiplicirt.

Für x = - erhält man noch aus A):

6 ) ( + i) n = ( 4 ~ 1 )" ^ cos — x + i sin — xwofür dieselbe Eemerkung gilt.

9

Aninerli. Versteht inan unter (i) m , wie bisher, die säumt-

S

liehen m Werthe oder Wurzeln von i"*, dagegen unter