184

oder, wenn man cosx n herausnimmt und berücksichtiget,dafs im Falle n gebrochen ist, die sämmtlichen Werthevon cosx n erhalten werden, indem man (§.309, Anmerk.)den arithmetischen Werth, welchen wir unter cosx n ver-stehen wollen, mit allen Wurzeln Yon (-]- i) n multipli-cirt, auch:

1 ) cosn (x + 2 r tt) —j— i sin n (x + 2 r ?r)

= (-+- 0 " ctwa; “ {^(' “ (“) tan g x * + (l) tan s xi — • •

+ * (('!) tan 8 x — ( 3 ) tangx 3 + . .

in welcher Formel, da innerhalb der angegebenen Grenzen

“K

+ — der Convergenz [welche Grenzwerthe noch mitbe-griffen sind, wenn, §.276, 9), n positiv ist] cos x immerpositiv ist, es für jeden reellen Werth von n, wenigstenseinen reellen Werth von cosx n gibt.

§• 314 . I st n e * ne ganze, positive oder negativeZahl, so hat (-j- 1 )" cosx n nur einen, und zwar reel-len Werth; demnach zerfällt die vorige Gleichung 1),nach dem Satze, dafs die reellen und imaginären Theile,für sich genommen , beiderseits einander gleich sind, indie beiden folgenden:

2) cosnx = cos x n

— cos x n ~ z sin x 2 -J- cos x n ~^ sin x 4 — . . . ,

3 ) sinnx = cosx n ~ l sinx — (^.^j cos x n ~ 3 sinx 3

wenn man nämlich die Multiplication mit cosx n verrichtetund die 2. Gleich, durch i abkürzt. — Für den besondernFall, dafs n positiv ist, brechen diese beiden Reihenab und sind sonach nicht an die Bedingung der Convergenzgebunden. Zugleich läfst sich auf diesen erwähnten Fallimmer auch jener zurückführen, in welchem n negativist; weil (§. 11) cos (—n) = cos (-(- n) und sin( —n)= — sin (-{- n) ist.