g. 371 . Aufgabe. Eine gerade Linie AB (Fig. 22)und ein Kreis 1 MED sind der Gröfse und Lage nach ge-geben 5 man soll in der Peripherie des Kreises einen PunctM von solcher Beschaffenheit finden, dafs, wenn er mitden Endpuncten A und B der Geraden AB verbunden,und hierauf die Sehne DE gezogen wird, diese mit derGeraden AB parallel laufe.

1. Au fl. Man nehme wieder an, die Aufgabe sey ge-löst und M der gesuchte Punct; fälle aus C und D aufAB die Perpendikel CF, DG und setze C D = CI — r,AB~a, AF=b, CF=c, und, da es hinreicht denPunct D zu linden, welchen wir der Bequemlichkeit derRechnung wegen, durch zwei Linien festsetzen wollen,AG—x, GD=y, so wird CH=c — y, DH=GF=b —x,und aus dem rechtw. Dreieck CDH: CD x = D W- C fl*oder 1) r z —(b —x) 2 -J-(c— y) z , und daraus, wenn manentwickelt:

1) x 2 -j- r 2 — 2 bx -]- 2 cy -j- r 2 — b 2 — c 2 .

Um noch eine 2. Relat. zwischen x und y zu erhal-ten, hat man aus den ähnlichen Dreiecken MAB und MDE :MA:MDx=AB:DE oder M A:D A = AB : (AB — DE),und wenn man das 1. Verhältnifs mit AD multiplicirt, auchAM. AD : AD 2 — AB : (AB — DE). Nun ist aber, wennman an den Kreis aus A die Tangente AI zieht und AI=psetzt: AM. A D = AB = p 2 , folglich auch , da noch AD 2■=. x % y z und DE = 2IID = 2 (b — x), also AB —• DE= a-j-2a? — 26 ist:

2) x"- -j- y z = — (a -j- 2 x — 2 b).

Die Verbindung dieser beiden Gleich. 1') und 2) gibt,

wenn man die 3 . Proportionallinie ( 5 . 358 ) -—=m setzt,

wodurch p 2 = am, oder (aus den rechtw. Dreiecken ACFund ACJ), wegen A C 2 = b'~ -j- c 2 und AD = AC Z — CD,nämlich p 2 oder am = b z -\-c z — r 2 wird: m(a-j- sx—2 b)= Q.bx-\-zcy — am, oder endlich, wenn man reducirt:

3 ) (b — m) x -J- cy = (a — b) m.