Fig .21oder a3«

Fig. a3.

Puncte bilden offenbar jene Systeme der Werthe von xundjr, welche beide Gleich. F(x,y) = o, F'(x,y) = o zugleicher Zeit befriedigen.

§. 410 . Nehmen wir als Beispiel hiezu das auf zwei-fache Art aufgelöste Problem des 371, für welches wirnach der 1, Auflösung die beiden Gleichungen 1) (x — b ) 2-{-(^— c ) 2 = r 2 und 2) a (x 2 -j-y 2 ) =: p 2 (a -ax — 2 b) er-haltenhaben. Anstatt nun, wie dort, aus diesen beidenGleich, x oder y zu eliminiren, und dann die Systeme ih-rer Auflösungen, d. i. die Coordinaten der gesuchten PuncteD , D' (Fig. 22 oder 23 ) zu erhalten, wodurch man, wiewir (aus der Finalgleich, nach x) gesehen haben, auf sehrzusammengesetzte Endgleichungen kommt, suchen wir viel-mehr die geom. Orter dieser Gleichungen 1) und 2). —Es ist aber der Ort der Gleich. 1) der gegebene Kreis Cselbst, weil die Coordinaten seines Miltelpunctes durch b,c und dessen Halbmesser durch r bezeichnet worden ist.Was ferner den Ort der Gleich. 2), die sich auch in der

p 4 ib p~

x — — 1 y ' 1 = + P 2 --— darstellen läfst,

betrifft; so ist dieser (§. 39/1, Gl. a) ebenfalls ein Kreis,dessen Mittelpunct (wegen q— o) in einem PunctG(Fig. 23 )der Geraden AB (als Abscissenaxe) liegt, für welchen (auf

A als Anfangspunct bezogen) A G sss — ist, und dessen

Halbmesser den Werth hat R~ 1 /E - ^EE —1 - p 2 . Da

a 2 a

aber aus dem rechtw. Dreiecke ACI, AI 2 = AC 2 — CI 2 ,oder nach der dort eingeführten Bezeichnung: p 2 = b 2

-f-c 2 — r 2 folgt; so ist auch R=\^

oder wegen b — ~=AF — AG=GF, also (b — Eiy+c 2

= GF 2 -\-FC 2 = GC 2 , auch R — \/GC 2 — r 2 . Führt mandemnach aus dem Puncte G an den gegebenen Kreis dielangenten GD , G D ; so ist aus den rechtw. DreieckenG DC , GDC sofort GC 2 — r 2 = GD 2 und Gl)' 2 , und also