§. 415 . Lehrsatz. Werden die 3 in den 3 letz-ten erwähnten Puncte wirklich construirt, so liegendiese in einer geraden Linie.

Beweis. Sind O, O’, Ö' diese 3 Puncte und x',y\x",y", x", y" ihre Coordinaten, so liegen (J. 389) diese

Puncte in einer geraden Linie , wenn -- = —--- ist.

0 x' — x" x' — x"‘

Nun findet man in der That, wenn aus §$- 4 12 ) 4 ' 3 , 4 l 4die Werthe der Coordinaten substituirt werden, dal’s diesebeiden Quotienten einander gleich sind und die Werthe

|3+yO-c)

haben: --■; woraus die Richtigkeit dieses Satzes

c — 2a

erhellet.

Anmerk. Sucht man allgemein die Bedingung, unter wel-cher sich überhaupt die 3 aus den Scheitelpuncten A, B, CFig, 88 . (Fig. 38) eines Dreieckes ABC gezogenen geraden Linien

AA', BB’, CC in einem einzigen Puncte O schneiden; sofindet man [II., 90 ], dafs dieses Statt findet, wenn die Re-lation besteht: AC. B A'. CB'zx. A B', CA'. B C'.

Kreise.

§. 416 . Um die Bedingungen aufzulinden, unter wel-chen sich 2 Kreise du rchsch neiden oder berühren,Fig. 40. seyen C , C' {Fig. 40) die Mittelpuncte zweier Kreise vonden Halbmessern r, r. Nimmt man die Centrilinie CC'zur Abscissenaxe , C zum Ursprung der rechtw. Coordina-ten und setzt CC'=d; so ist die Gleich, des Kreises C(§.398) 1) x^-^y 1 — r* = 0, und die des Kreises C', fürwelchen also p=d, q = o die Coordin. des Mittelpunctessind (§. 394) , 2) x x ~\~y x — idx-^-d- — r' x o.

Nimmt man nun an , dafs sich beide Kreise durch-schneiden, so wird man zur Bestimmung der Coordinatender Durchschnittspuncte die beiden Gleich. 1) und 2) miteinander verbinden und daraus x und y bestimmen. Ziehtman zu dem Ende die Gleich. 2) von jener 1) ab, und be-stimmt aus der entstehenden Gleichung a; so wird

+ —

“) a = -IT7-»

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