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und wenn dieser Werth in 1 ) substiluirt wird:

ß) J = ± \A'" d 2 — (d 2 + r z — r' 2 ) 2 .

§. 411 . Aus diesen beiden Gleich, a) und ß) folgt,dafs in allen Fällen, in ■welchen y reell ausfällt, die beidenKreise einander in zwei Puncten M, M' durchschneiden,für welche die Abscissen {CP) einerlei, die Ordinaten(PM, PM') aber gleiche und entgegengesetzte Werthe be-sitzen : es steht also dabei die Centrilinie CC' auf der ge-meinschaftl. Sehne MM' perpendiculär und halbirt die-selbe. — Um aber die Bedingungen zu finden, unter wel-chen y reell oder imaginär ausfällt, stellen wir y, durchZerlegung der Wurzelgröfse in ß), auf folgende Weise dar:

r = ± ~jN/( r + r '+ d ) { r + r — d) (r -f d — r) (r + d — r);

und in dieser Form erkennt man, da die Radicalgröfseder bekannte bei der Dreiecksfläche (§. 61 ) vorkommendesymmetrische Ausdruck ist, sogleich, dafs y nur dannreell ausfällt, wenn sich aus den 3 Linien r, r, d einDreieck construiren läfst: die beiden Kreise durch-schneiden sich also, wenn von den 3 Gröfsen r, r, dimmer jede kleiner als die Summe der beiden übrigen ist.

§• 418 . Sollen sich aber die beiden Kreise berühren,so müssen die Puncte M, M' in einen zusammenfallen,also müssen sich auch die beiden Werthe von y auf einenreduciren, was aber nur fürjy = o möglich ist. Diesesletztere findet ferner nur Statt, wenn (wie unmittelbar ausdem letzten Ausdruck von y folgt) eine der Gleichungend = r-J-7 / , d — r — r, d=;r— r, oder diese in einever-einiget, wenn y) d 2 = {r + r) 2 besteht: zwei Kreise be-rühren sich also, wenn der Abstand ihrer Mittelpunctcentweder der Summe oder Differenz ihrer Halbmesser gleichist (im i. Falle findet eine äufsere, im letztem eine in-nere Berührung Statt).