Bestimmte Aufgaben.

§• 429 . Aufgabe. Zwei Puncte und eine geradeLinie sind gegeben, man soll einen Kreis finden, welcherdurch beide Puncte gebt und die Gerade berührt.

Aufl. Nimmt man die gegebene Gerade AX (Fig. 43 ) Fig. 43.zur Abscissenaxe, und den Punct A , in welchem diese vonder Verbindungslinie M'MA der beiden gegebenen PuncteM, M' geschnitten wird, zum Ursprung der rechtw. Coor-dinaten, bezeichnet die Coordin. der gegebenen Punctedurch x , j und x", so wie jene des Mittelpunctes desgesuchten Kreises und dessen Halbmesser durch p, <7, r;so ist die Gleich, der Geraden AM': 1) y = ax, und jenedes gesuchten Kreises; mit Rücksicht der zweiten Bedin-gung der Aufgabe, zufolge welcher q=sr wird: 2) x l -\-j z— 2p x — 2 rj -|- p 2 = o. Diese beiden Gleichungen miteinander verbunden, geben, wenn man nach x ordnet:

i(p + ar)

— - - x

1 a %

pl

1 + a-

welche Gleich, also die beiden Wurzeln x = x' und x = x"(als Abscissen der Durchschnittsp. der Geraden AM' unddes Kreises) besitzt; man hat also (§. 162):

. . „ 2 (p + ar) 1

x - 4 - x =3 — - - und xx

1 1 + a z

1 a" ’

und aus diesen beiden Gleichungen

\AcV'(i -j- (L 1 ) und r =

( x'-{- x")( 1 + a-) — 2 p

von welchen beiden Ausdrücken jedoch der letztere zurConstruction selbst nicht gebraucht wird, indem es hin-reicht, mittelst des erstem den Berührüngspunct B zu be-stimmen und dann durch die 3 Puncte M, M , B (§.402)den gesuchten Kreis zu ziehen. Um aber zu diesem Endeaus dem erstem Ausdruck a zu eliminiren, hat man ausder Gleich. 1), da die entsprechende Gerade durch M und

t t > n " y‘ y * 4

M’ gehen soll, j = ax und y"= ax , also a==‘— = —;

mithin ist auch, wenn man für a den erstem Quotientennimmt: