din. des gesuchten Punctes M durch x , y, so ist wie imvorigen §. A M 1 sa (a -|- x ) 2 -\-y 2 und B M l ~(a — x ) 2folglich der gegebenen Bedingung gemäfs : (a-l-a; )*+(«-*)*-)-2 y 2 -=.m z , oder, wenn man entwickelt:

x 2 J z i ("a 1 — m2 ) — o.

Diese Gleichung, die einzige, welche man zwischenden beiden Unbekannten x , jr erhält, zeigt, dafs der Ortaller der unzähligen Puncte M, welche der Aufgabe Ge-nüge leisten (J. 398), ein Kreis vom Halbmesserr = —2a 2 )

ist, dessen Mittelpunct im Ursprung C liegt.

Construction, Um aber diesen Halbmesser und damitden Kreis, als geom. Ort der gefundenen Gleich, zu construi-ren, errichte man über CB=z.a das Quadrat BE, und ziehe indiesem die Diagonale CD ; so ist CD 2 =^ia 2 . Errichtet manferner .in C auf CD das Perpendikel CL, und durchschneidetes aus D mit dem Halbmesser DF=m in F-, so ist im rechtvr,Dreiecke CD F\ CF 2 = DF 1 —• CD 2 = m 2 — 2a 2 . Vollendetman das, Quadrat CFGH und zieht die Diagonale CG, so istC G 2 — iC F 1 — 2 (m 2 — 2a 2 ) , also C G = \/ 2 (»i? — 2 a-). Wirddaher endlich C G in / halbirt, so ist C 1 = 7 [/‘a (m 2 — 2a 2 )=rder gesuchte Halbmesser, mit welchem man nur aus C den Kreisbeschreiben darf, um sofort den geom. Ort aller die Aufgabeauflösenden Puncte M zu haben.

Anmerk. Es ist leicht zu sehen, dafs der kleinste Werth vonm, für welchen die Aufgabe noch möglich wird, =a V2 ist.Für m<a\Ji wird r imaginär, was sich in der Constructiondadurch verräth, dafs der erwähnte Durchschnitt F des Per-pendikels C L aus D nicht möglich wird. — Für m~ aVifällt F auf C, und es reducirt sich der Kreis auf seinen Mit-telpunct C, welches dann der einzige Punct ist, welcherdie Aufgabe (die nun eine bestimmte ist) auflöst. Fürm-=2a wird r=a=CA=CB, so, dafs AB der Durch-messer des gesuchten Kreises oder Ortes wird.

. 49 . §. 435 . Aufgabe. Zwei Puncte A, B (Fig. 49) sind

gegeben, man soll einen dritten Punct M von der Beschaf-fenheit finden, dafs die Verbindungslinien MA, MB einengegebenen Winkel AMB = <> einschliefsen.