457 . I-'öst man die Gleich. I. des /|54 nach y auf,

x 1 , und dui'chDiscussion

so erhält man 1) j

dieser Gleichung erhält man (wie in 400 beim Kreise)seihst, wenn die Construction dieser Curve nicht vorausge-gangen ist, ein deutliches Bild von der Ellipse. Diese Glei-chung zeigt nämlich:

1. Dafs die Ellipse in Beziehung auf beide Coordinatenaxensymmetrisch ist. [Die Verwechslung der beiden Axen un-

a _ _

ter einander gibt j —j:- als Gleich, der Ellipse.)

2. Die Axen XX', TT' werden in den Puncten A, A', fiirrig. 5 «.welche x—CA — -j-a und = Cy?' =— a, ist, ferner in B , IV,wofür y ix C B xl b und xlCB'xl — b ist, geschnitten.

3 . Da für x = + a , y = + o, und für y — + b , x — + owird; so bann man (§.422, Anmerk.) schliefscn, dafs die Curvein A, A' und B, B' von den Geraden DAT, D'A' E' undDBD', EB'E', welche beziehungsweise mit i'J'' und XX' pa-rallel laufen, berührt werden.

4. Da für Werthe von ar> a, y , und für Werthe von y~>b(Gl. 1') X imaginär ausfällt; so folgt, dafs die Curve von demdurch die vorigen 4 Puncte A, A‘, B, B' construirten liechteckDEE'D' gänzlich eingeschlossen werde.

5 . Die Entfernung eines Punctes M (x, y) der Ellipse vomUrsprünge C ist: d=z V^r- +J 1 , oder, wenn man für j - denaus der Gleichung 1) folgenden Werth subslituirt:

Da nun dieser Ausdruck seinen kleinsten Werth bei x — o er-reicht, so ist der kleinste dieser Abstände: dz=Vb- — T^b= Cß=C/P. Nimmt x zu, so wächst auch d, und erreichtden gröfsten 'Werth , wenn man für x den gröfsten Werth, d. i,(4.) x= + a setzt; dafür hat man aber, als gröfsten dieserAbstände: d = \/h 2 A*— b' z — Hb u CA r=z C A‘. Hierausfolgt auch, dafs unter allen durch C möglichen Sehnen der Curvejene yl A' die gröfste und B B' die kleinste ist. Zugleich ist aberauch AA' gröfser als jede andere, wie immer gezogene Sehneüberhaupt; denn zieht man die beliebige Sehne GII, und ver-bindet ihre Endpuncte G und II mit C ; so ist im DreieckeG C H: G II < G C -jr C II, und wegen G C C !I < A' C -j- C yl— A A', um so mehr G H < A A‘.

Burg*» Comjieixliuin 4. Id/Ii, Math«

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