gewöhnlich schon jedem dieser beiden Zweige für sich dieseBenennung beizulegen, und nennt in dieser Beziehung diebeiden Zweige entgegengesetzte Hyperbeln.

§. 468 - Um für die Hyperbel eine einfache Gleichungzu finden, nehmen wir wieder die beiden Geraden XX',YY', welche sich in C rechtwinkelig schneiden , und ge-gen welche, wie die vorige Construction gezeigt, diePuncteder Curve symmetrisch liegen, als Coordinatenaxen; setzenFF'=: sc , also C F = CF'z=z c, und bezeichnen die Coor-din. irgend eines Punctes M der Curve durch x, j, so wieendlich die Leitstrahlen FM, F'M durch u und u. Diefsvorausgesetzt, gelten für den Punct M, als Durchschnitts-punct zweier Kreise, deren Halbmesser u, u und Mittel-puncte F, F' sind, die Gleichungen (§. 394) •) (x — cf-\-y 2 = u 2 und 2) (x-fc) 2 -fy 2 ==u 2 , so wie auch nochaus der Natur der Curve die^ folgende 3) u'—u=2a. —Die Elimination von u, u aus diesen 3 Gleichungen führtzur gesuchten Gleich, zwischen x und y. Werden zu die-sem Ende die Gleichungen 1) und 2) addirt und subtrahirt,so erhält man 4) ‘2{x 2 -\-y 2 c 2 ') = ü 2 u 2 und t\cx-=^u 2

— u 2 = (uu)(u — u), oder, mit Rücksicht auf Gleich. 3 ):

l\cx = 2 tt (u'-J- u), woraus u-j-u also mit Rück-sicht auf die Differenz 3), sofort 5) u = 4- a und

a

C X

U == —- a folgt. Diese Werthe von u und 11 in 4 ) sub-

stituirt, geben cl 2 j 2 -f- (a 2 — c 2 ) x 2 = a? (a 2 — c 2 ) , oder,wenn man, da (Anmerk., §. 4h 1) C F j> C A , d. i. c > &seyn mufs, also a 2 — c 2 < o oder wesentlich negativ ist,a 2 — c 2 = — b 2 oder m) c 2 — a z — b 2 setzt, auch:

II. a 2 jr 2 — b 2 x 2 = — tz 2 b 2 ,welches sofort die gesuchte Gleichung der Hyper-b e 1 ist,

464 - Pur ein dem vorigen paralleles Coordinaten-syslem, auf welches bezogen p, q die rechtwinkel. Coor-dinaten des vorigen Anfangspunctes C sind, hat man: