zu zeigen, dafs sich diese allgemeine Gleich. 1) durch passendeTransformationen immer auf eine der beiden folgenden: My --}- Nx 1 — P und y- = Q x, von denen (§§. 454 , 4^3 , 47 2 ) dieerstere einer Ellipse oder Hyperbel und die letztere einer Para-bel angehört, rcduciren lasse: dafs also diese 3 Curven mit Ein-schlufs ihrer Varietäten den Inbegriff der Linien der zweitenOrdnung ausmachen.

Vereinfachung der vorigen Gleich, i) durchTransformation der Coordinaten.

§• 484. Man bann immerhin annehmen, dafs sichdie Curve oder Gleichung i) auf r e c h i w i n k e 1 ig e ■ Coor-dinalen bezieht [injlem beim Übergange von schiefwinkeli-gen auf rechtw'inkelige Coordinaten die Form dieser Glei-chung i) die nämliche bleibt], und diese, um das Gliedin xy hinauszuschaffen, für ein neues rechtwinkeligesAxensystem , welches den nämlichen Ursprung besitzt,transformiren. Dazu darf man nur in dieser Gleich, i) fürx und y die Werthe aus §. 44 1 > d. i. x cos a — y sin a undx sin ay cos a, wobei für unsern Zweck a eine will-kürliche, noch unbestimmte Gröfse ist (vergleiche§. 4^8) , substituiren , wodurch man, wenn Kürze halberA cos a 2 — B sina cos a -j- C sinn 2 = M ,

A sin a* -f- B sin a cos a - C cos a 2 = N ,

2 A sin a cos a — B sin a 2 -|- B cos a 2 — 2 C sin a cos a — L,

1) cos a — E sina = R und D sin a -(- E cos a = S

gesetzt wird, die Gleichung erhält:

My 2 + Lxy -{- Nx* -|- Ry Sx -J- F = o.

Um nun daraus das Glied, in xy w'egzuschaffen , darfman blofs die unbestimmte Gröfse a aus der Bedingungs-gleich. L — o bestimmen. Diese Gleich, ist aber, wennman substituirt und berücksichtiget, dafs 2 sina cosa = sin 2 aund cosa 2 —sin a 1 c= cos 2a ist: ( A — C) sin2a-\-B cos 2 a= o,

C*

Da aber die Tangente jeden reellen posit. oder negat.Werth von Null bis Unendlich annehmen kann, so gibt es,

und daraus folgt: n) tang 2a = —