sofort M -}- N — A -f C. Dagegen erhält man durch Sub-traction dieser Gleich., wegen cosa 2 — sin a 2 ^: cos 2a und2sin a cos a=zsin 2 a, sofort M — N—(A — C ) cos 2a — Bsin 2a,oder, wenn man für sin 2a und cos 2 a die oben in p ) (§. 484 )aufgestellten Werthe setzt und reducirt, auch

M — N = \/(A—C ) 2 + B 2 ,

Da man nun von M und N die Summe und den Un-terschied kennt, so ist M = f \A-\- C -j- \/(A —und J$z=\\A-\-C—^(A — C )' 1 -(- jB 2 ] , mithinMN = \ (4^ C — B z ).

Aus dieser letztem Gleich, folgt aber, dafs M und Neinerlei Zeichen besitzen, wenn 1 \AC — B 2 positiv,oder, was dasselbe ist, B 1 — l\AC negativ, dagegenverschiedene Zeichen haben, wenn diese DifferenzB" — L^AC positiv, und dafs endlich M oder N Null ist,wenn jB 2 — 4 AC — o ist. Diese Ergebnisse mit denen derbeiden vorigen §. zusammengehalten, geben sofort für diese3 Curven folgende Kennzeichen: die allgemeine Gleichung

1) Ay 2 -f- Bxy -f- Cx 2 -f- ... = o gehört einer Ellipse,Hyperbel oder Parabel mit Einschlufs ihrer Varietä-ten an , je nachdem B 2 — 4 A C <, > oder = Null ist.

Der Mittelpunct der Linien zweiter Ordnung.

§. 494. Wir wollen ferner noch, ebenfalls durcheine passende Transformation der Coordin., untersuchen,w'elche von den Linien zweiter Ordnung einen Mittelpunct,d. h. einen^solchen Punct besitzen, in welchem alle Seh-nen der Curve halbirt werden. Dazu verändern wir denUrsprung und setzen in der allgemeinen Gleich. 1 ), §.483,x-\-d statt x und y-f-S statt y\ so entsteht die Gleichung

2) Ay 2 -f- Bxy -(- Cx 2 -J- D'y -|- E'x -J- F'— o, in wel-cher A, B, C noch die nämlichen Coefficienten der ur-sprünglichen Gleich, sind, dagegen, wie man sehr leichtfindet, I)’ = 2 Ab Bd -j- D , E — 2 Cd -j- Bö E undF’=A&- + Bdb + Cd 2 + üb -f Ed + F ist.