Fr -f- Fr <[ 2 a, und eben so für einen Punct R auf ser-halb derselben: FR -|- F'R ]> 2 a.
Eben so findet man für die Hyperbel [man darf (§. 465)in den vorigen Relationen nur — b % statt setzen] , dafs ein
Punct (dessen Coordinaten x , y sind) in der Curve selbst in-ner- oder aufserhalb derselben liegt, je nachdem für die-sen Punct cC 1 y- —■ b " 2 -•{- a”b- =, < oder >o ist 5 oder auch,dafs in diesen 3 Fällen, wenn M ein Punct der Curve, r in-ner- und R aufserhalb derselben liegt, F'M — FM = 2 a(§.46o), F'r —Fr > 2 « [wegen (Fig 53) F'r — F'M-\-Mr und Fig. 53,Fr < FM -j- M rj und F R — FR < (wegen F'R = F'M — MR
und FR~>FM — MR) sey.
§.502. Aus der Gleich. I. (§. 4^4) der Ellipsefolgt y x : (ax)(a — x) = b’ l :a l , oder mit Rücksicht aufdie Figur (Fig. 52) PM 2 : ÄP , AP— b x : cP. Für einen 2 .Fig. 5 j,Punct derselben Ellipse hat man eben so: P' M' 1 : A'P' . AP'
— b*: a 2 ; es ist also PM -: P'M' z = A'P . AP : A'P . A P '. —
Für b = a oder den Kreis hat man P1P: ÄP. AP = 1 : 1 ,also P M- =s AP. A P (vergl. |j. 400 , Anmerk.).
Dieselben Proportionen und daraus folgenden Sätze geltensofort auch für die Hyperbel.
§• 503 Beschreibt man über der grofsen Axe A A'
(Fig. 61 ) der Ellipse als Durchm. einen Kreis, und be-Fig. 6 i,zeichnet für einerlei Abscissen die Ordinaten des Krei-ses durch y, und jene der Ellipse durch y\ so hat man
y"- = ar — x x und r 2 =— (cP- — x l ), folglich y' 2 :y 2 = a 2 : b x
oder y:y — a : b. Wird der Kreis über der kleinen Axebeschrieben, so erhält man y :y = b : a.
Diese Eigenschaft liefert zur Construction der Ellipse mittelstPuncte auch noch folgendes Verfahren : Man beschreibe überbeiden Axen AA', BR' der zu construirenden Ellipse Kreise,errichte in einem beliebigen Puncte P der ersten Axe, bis zumäufsern Kreis, die Ordinate PN, und führe durch den PunctL, in welchem sie den innern Kreis schneidet, zu A A' die Pa-rallele LM-, so ist der mit der Ordinate dadurch entstehendeDurchschnitt M ein Punct der Ellipse. Denn es ist dieser Con-struction zufolge PN: PM = CN : CL oder y‘:PM = a : b,
Hurg’s Compcndium d. höh. Math, 2 1