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s. 858. Beispiele hierüber.

1) Es sey die zu rectificirende Curve die Evolvente des

Kreises, so ist dafür (§. ’j'i’i) ds =z R<fd<f, also sxzfRydt?— und da (aus der Natur der Sache) für p — o auch

S — o seyn mufs, so fallt hier die Constante weg, d. h. es wirdC=zo , und es ist für einen beliebigen Abwichelungswinkel t ?:

S = IR^.

2) Aus der Gleich, der N e i 1 i sehen oder cubischenP a r ab e 1

(§• 7*6) y 2 — p'x 2 folgt ~ </p' x *; es ist daher

dx’

s = fdxy/i p'x =. JL(i +|p , x)> + C (§.761, 6.),

27 P

Und da der Scheitel der Curve im Ursprung der Coord. liegt,also für x — o auch j —o ist; so hat man zur Bestimmung der

8

Const. C die Bedingungsgleichung o zx - - -J- C, und daraus

8 P

C — -so, dafs also die vom Scheitel bis zu einem be-

27//’

liebigen Punct der Curve, welchem die Abscisse x entspricht,gezählte Länge des Bogens

* = ^[o+V*) T —»] ist -

3 ) Für die gemeine oder ApolonischeParabel ist aus

y* = px sofort = - \/fL , demnach s = fdx V 1 *J" t P x~’,dx ’ Y x 4

oder, wenn man ip — a setzt: s

f

dx V & + x

\jx

Es ist aber, wenn man Kürze halber ax-^-x 2 xz. X setzt:

\/a- j- .r a-\- x a .

Ix = X = X “1“

X

, folglich auch

/ x dx Pt

-x-+“j-

Da nun, wenn man in der Reductionsformel D) (§. 810) n= 1,

Px dx a Pdx

0-0, ß = a und y — » setzt, sofort I =. X — - J

/ dx

— — l (a.ix‘}.X) ist, so hat man, wenn

der Bogen wieder vom Scheitel aus gezählt, also die ConstanteC gleich So bestimmt wird, dafs für x~o auch s verschwindet,