folglich V'dx- -j- dy- — )/2<i . ~i und daher

V2a—y

s — ia C-— — ^ - - - : C — 2<* . a 2 *—y i

J \/ ia —y

d. i. s = C — 3 \/ %a (2 a- — y).

Zählt man den Bogen s vom Ursprung A (Fig. 86), so wird F>g- 86.^für x — y — o auch s~o, und daher aus der vorigen Gleich,die Const. C = 2 \/4a- = l^a , so, dafs also allgemeins = 4* — 2 l/aa (2«— y)

die Länge eines Bogens vom Ursprung A bis zu einem PunctoM ist, welchem die Ordinate y entspricht. Für ^ = 2« wird5 = Bog. AD = 4*5 demnach ist der ganze cyclofdische BogenADB — 8 a.

7) Um auch ein Beispiel für die Ilectification der Polar-

curvcn zu geben, sey n =— die Polargleich, einer Curve *),

’it n

du l

so ist -t— =— , und nach der hieher gehörigen Formel [ 5 ),

Ct (p 271

d <? - - i , -

§. 721] ds = —— V 1 +9 2 , also 5 =3 ~fdtp V 1 +?"• Wird

die Integration ausgeführt (am einfachsten, indem man im In-tegral 8 ) der Anmerk, auf S. 54 * P' — \ undjy=ij> setzt), soerhält man :

5 = — ^(9 + ^1+ 9 1 )} 1

welches Integral keine Constante erhält, weil aus der Natur derCurve für tp — o auch 5 = 0 ist. [Beisp. für eine Curve vondoppelter Krümmung : III., 438 .]

*) Es ist diefs die Archimedische Spirallinie, undentsteht durch die combinirte Bewegung des Halbmesserseines Kreises uni seinen Mittelp, und eines Punctes , wel-cher auf dem Halbmesser vom Mittelpunct gegen denUinfangdes Kreises so fortschreitet, dafs er diesen Halbmesser inder nämlichen Zeit gleichförmig durchläuft, in welcher derHalbmesser eine Umdrehung , ebenfalls gleichförm., vollen-det hat. Setzt man daher, dafs dieser Punct auf dem Halb-messer = 1 das Stück u zurücklegt, während der letztereden Winkel tp beschrieben hat; so ist dieser Erklär, zufolgeu: 1 = £ : 2ji , woraus sofort die obige Gleichung der Gurve