Quadratur der Curven.

§•859. Erklär, Eine ebene, auf Parallelcoordi-naten bezogene Curve quadriren heifst im Allgemeinen : dieFläche bestimmen, welche zwischen einem beliebigen Bo-gen der Curve, den Ordinaten seiner Endpuncte und derzugehörigen Abscisse liegt. Am gewöhnlichsten jedoch wirddie Fläche vom Scheitel der Curve (wenn ein solcher vor-handen ist) an gerechnet.

§• 860. Da wir in J. 697 bei Voraussetzung recht-winkeliger Coordinaten für das Element oder Differentialder Fläche dzzxzydx gefunden haben; so reducirt sich,wenn y = f(x)=:X die Gleich, der Curve ist, das Problemder Quadratur auf die Bestimmung des Integrals fXdx.

§.861. Beispiele hierüber.

1 ) Für die Familie der Parabeln, welche in der Gleich.

i m

yn — p begriffen ist, folgt, wegen y — p n x n = X, sofort1 m 1 m -{- n

Z — pnfx’ 1 dx = -- - - p*x n 4- C.

m -J- 11

Dabei mufs die Constante C weggelassen werden, d. h. sic wirdNull, wenn man die Fläche z vom Ursprung der Coordin. odervom Scheitel rechnet, weil für ,r = o auch y und z = o ist. —Man sieht, dafs alle diese Curven quadrirbar sind.

2) Für die gemeine Parabel erhält man, wegen m = 1und ra=2, aus dem vorigen Integralausdruche für die vom

ig. 54 . Scheitel A bis zu einer beliebigen Ordinate PM — y (Fig. 54)gezählten Fläche :

z = |p a .r a = LxVpx = jxy.

Soll aber die zwischen den beiden Ordinaten PM und P'M ',deren Abscissen AP = a und A P' = b sind, liegende FlächePP'M'M ausgedrückt werden; so bestimme man entweder in

i i

dem allgem.Integral z = l.p a .r a -(-C zuerst die Constante C so,

dafs für x=a, z = o wird (d. i., §. 833, für den Anfang des

1 ^ 1 2 i

Integrals), wodurch C = — ip* «*, demnach z —|-p a (.r a —a a )

wird, und nimmt dann das Integral bis x = 5 (bei welchem