TRIGONOMÉTRIE. 48

Surtout on doit bien se garder de croire qu’il existe une longueurabsolue qui est le rayon i, et une autre qui est le rayon»-, de mêmequ’il y a des distances égales à i mèt., amèt., etc. : le rayon resteessentiellement indéterminé. A la vérité, chaque ligne trigono-métrique d’un angle donné se trouve exprimé par des nombresdifférens, suivant l’hypothèse qu’on fait sur le rayon ; mais cesnombres ont toujours le même rapport avec celui qui représentele rayon, et c’est cè rapport seul qui entre dans les calculs.

Relations des lignes trigonométriques entre elles.

20. Les triangles] de la fig. i font connaître les relations dessix lignes trigonométriques entre elles.

D’abord, le triangle OMP étant rectangle, on a

MP* + OP 2 = OM 2 ;

en second lieu, les triangles semblables OMP, OTA, donnerontAT: MP:: OA: OP, OT : OM :: OA : OP;et, en troisième lieu, les triangles OMQ, OSB, donnent aussiBS : MQ :: OB : OQ, OS : OM :: OB : OQ.

Faisons l’arc AM = a , le rayon OM = r, puis remplaçonsles lignes par leurs désignations trigonométriques , savoir :MP par sin a, OP par cos a, etc. Les cinq relations précédentesdonneront

[ i ] sina + cos 2 a=r 2 ,

M

W

tanga=

cot a =

r sm acos a ’

r cos asin a ’

P]

[ 5 ]

r i

sec a =--,

cos a

, r 2

cosec a=—.-.

sin a

L’équation [i] servira à déterminer le sinus au moyen du cosi-nus, et réciproquement. Si on donne sin a, on aura cosa =±\/r 2 — sin 2 a. On obtient deux valeurs égales et de signescontraires, parce qu’à un même sinus, à OQ, par exemple, ilrépond deux cosinus OP et OP', égaux et de situation opposée.