TRIGONOMÉTRIE.

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étant négatif, et le cosinus positif, les valeurs [a], [ 4 ], [ 5 ] sontnégatives, et la valeur [ 3 ] est positive: c’est encore ce qui doitêtre, d’après la figure.

Au-delà de 36 o°, le sinus et le cosinus reprennent, pour un arcquelconque 36 o°-f-a, les mêmes grandeurs et les mêmes signesque pour l’arc a ; les quatre formules donnent donc aussi les mêmesrésultats. El effectivement la tangente, la sécante, etc., doiventavoir les mêmes valeurs pour l’arc 3 üo°-|-a que pour l’arc a.

Supposons les arcs négatifs. Puisque sin (— a) =—sin a, et quecos(—a)=cosa (i i), il s’ensuit qu’en changeant le signe de l’arc,les valeurs données par les formules, pour la tangente, la colan-gente et la cosécante, prennent des signes contraires sans changerdegraudeur, tandis que la sécante reste tout-à-fait la même. Cesrésultats sont encore conformes aux indications de la figure.

Enfin, à parler rigoureusement, on pourrait craindre que lesformules ne fussent pas vraics pour les arcs o, go°, i8o°, etc.,parce qu’alors les triangles cessent d’exister. Mais il est facile devoir qu’elles donnent encore des résultats qui conviennent à cesarcs. Par exemple, si on fait a = 90°, on aura sin 90° = r ,cos9o°=o; par suite tang9o°= x , séc 9o°=ao , cot9o°=o,coséc 90° — r. Ces valeurs sont en effet celles qu’on doit avoir.Remarquez que la valeur tang 90° = oo doit être prise avec lesigne ambigu ±: ; car elle est à la fois limite des tangentes posi-tives qu’on obtient en faisant croître l’arc de o à 90°, et limite destangentes négatives qu’on obtient en le faisant décroître de 180°à 90°. I.a même observation s’applique aux autres lignes trigono-métriques susceptibles de devenir infinies.

Concluons maintenant que la généralité des cinq formules n’estlimitée par aucune restriction.

23 . 11 eût suffi de démontrer la généralité des formules [2]et [ 3 ] pour en conclure celle de [ 4 ] et [5 J : car celles-ci peuventse tirer des premières en y mettant 90 °—a au lieu de a. En gé-néral , toutes les fois qu’une relation entre les lignes trigonométri-ques aura été démontrée pour t outes les valeurs possibles des arcs,il sera permis d’v remplacer ces arcs par leurs complémens, ce quirevient évidemment à changer les sinus, tangentes, sécantes, encosinus, cotangentes, cosécantes; et réciproquement.