TRIGONOMÉTRIE.

85

CHAPITRE III.

DE QUELQUES FORMULES QUI SERVENT DANS LES MATHÉMATIQUESÉLEVÉES. DÉVELOPPEMENT DU SINUS ET DU COSINUS EN SÉRIES.RÉSOLUTION DE l’ÉQUATION BINÔME ET DE l’ÉQUATION DU 3*DEGRÉ.

Formule de Moivre. Sens multiple qu’on y doit remarquer.

124. Celle formule, à laquelle on attache le nom du géomètrefrançais qui l’a découverte, est la suivante :

[À] (cos <p +\/—1 sin <p) n = cos n <p -\-\/— i sin n<p.

Elle exprime que, pour élever le binôme cos<p+v/— i sin <pà une puissance quelconque, il suffit de multiplier l’arc <p parl’exposant de cette puissance. On peut y mettre indifféremment+ ou — devant V 7 — 1 : car ce l a revient à changer 4 en— <p.

Le cas où l’exposant est entier positif est le seul dont j’auraibesoin dans la suite : e’est celui que je vais considérer d'abord.Par la multiplication on trouve

(cosip+\/— 1 sin?)) (cos ■ 4 '+V / — 1 sin 4)=cos 1 p cos 4 —sin <p sin 4 +Y/— 1 (sin <p cos- 4 + cos <p sin 4 )•

Or, d’après les formules connues [26], la partie réelle de ce pro-duit est égale à cos(ip+ 4 ) > et l a P arl *e imaginaire est égale àV/=T sin (<p + 4) > donc

(cosip-j-y/— 1 sin <p) (cos 4+\/ — » sin 4 ) =cos (<p+-'W+\/-— I sin (<p-)-4).

C’est-à-dire qu’en multipliant entre elles deux expressions de laforme cos <p -j -\/— 1 sin <p, on obtient encore une expression sem-blable, dans laquelle les deux arcs sont ajoutés entre eux. Pourmultiplier le produit par un nouveau facteur de même forme, ilsuffira donc d’ajouter encore le nouvel arc aux deux autres,, et