DEUXIÈME PARTIE.

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H'F'jr perpendiculaire à la droite donnée H'L', et divisez F'H'en C de manière qu’on ait F'C : CH' m: n; il est évidentque le point C appartient à la courbe, et qu’on peut supposerw=? F'C, et » CH'. Elevez CY perpendiculaire à Cx, et pre-nez les lignes Cx , CY, pour axes des coordonnées.

Cela posé , x et y étant les coordonnées d’un point quelconqueM de la courbe, les distances de ce point au point F' et à la ligneH'L' seront

MF'=y/i/* + (as— m)* et MR' = * + n;donc, d’après l’énoncé, on aura

\/ij 2 -}- (x — ni)* :x-f-n ::m:n ;et, par suite, toutes réductions faites,

n 2 y 2 + ( n 2 — m 2 ) x 2 —min (n + m) x= o.

Cette équation est celle de la courbe cherchée, et elle montreque cette courbe sera une ellipse, ou une hyperbole, ou une pa-rabole , selon qu’on donnera m<^n , ou m ]>n, ou m— n.

Prenons la première hypothèse, et, pour avoir les points oùl’ellipse coupe l’axe Cx, faisons y — o dans l’équation : il vient

(n* — m 2 ) x 2 — imn (n -J-m) x = o,

, imn

dou x = o et as = -.

n—m

La valeur x—o donne le point C déjà connu, et l’autre valeurdétermine le point B. Transportons l’origine au point A, milieu

tüîl

de CB : il faudra changer x en x -|-, et alors on trouve

° n—m

l’équation

n 2 y , 2 -j- (n* — m 2 )x 2

m 2 n 2 (n +m)n — m

L’ellipse est actuellement rapportée à son centre et à ses axes.On connaît déjà la longueur du demi-axe AB ; et si on faitx= o dans l’équation précédente, on connaîtra l’autre demi-axe.En désignant ces demi-axes par a et b, on aura

[»] S

a

mn

n—m ’

6 =

m

n + m

n—m ’