GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 239

En nommant c la distance du centre A aux foyers, on a

V/a* b* = \/ -

(n — m)

m’n*

_ m*

w —m n — m

Mais on a

AF = AC-CF'=

n —m

donc le point F' est un foyer de l’ellipse. Il est facile aussi dereconnaître que la droite II'L' est une des directrices : car ellevérifie la relation AC’ = AF' X Ail' (315).

317. Remarque. La définition des foyers, telle qu’elle est pré-sentée n° 307, d’après Euler , est fort simple sans doute, maiselle a le défaut de ne point caractériser ces points par une pro-priété géométrique; et celle d’ Apollonius (3 14.) n’exprime pasune propriété assez saillante pour qu’on doive s’y arrêter. Il se-rait plus satisfaisant de réunir les foyers et les directrices dansune même recherche en les définissant comme dans l’énoncé duproblème précédent ; et alors l’analyse qui résout ce problèmepourra servir à les déterminer. Si on adopte cette marche on devraregarder a et b comme donnés, tandis que m et n seront des in-connus qu’il faudra déduire des équations [1]. Mais il sera mieuxencore de prendre pour inconnues les distances AF' et AU',lesquelles sont déterminées très-simplement par les relationsAF'=y/a a —è» et AF' X AU' = a 1 .

318. Autre remarque. Dans le n° 3o8, nous avons trouvé

FM= a

et, dans le n° 3i5, la forme de

F'M = a +

ces valeurs nous a fait découvrir avec facilité les deux directrices.A ce sujet, je ferai remarquer d’une manière générale qu’il suf-fit que la distance d’un point fixe à un point quelconque d’unecourbe soit exprimée par une fonction rationnelle du i cr degré,entre les coordonnées de ce dernier point, pour conclure qu’ilexiste une droite fixe qui est telle que les distances de chaquepoint de la courbe au point fixe et à la droite soient entre ellesdans un rapport constant. Voici comment on démontre cette pro-position , et comment on détermine la position de la droite.

Désignons par 6l’angle des axes, que nous laisserons quelcon-