GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 261

Cette équation peut s’écrire ainsi

«’ (y'—yl{y'+y") + 1 ' 1 (•*'—) (•*'+*’)=« ;

alors on en tire

y' — ?/" _ b 2 (x'+x')

x'—x" a 2 (y' + ÿ”) ’et par conséquent on a

taneS---^ 4 ’^

S «“('/' +y'') ‘

Quand le second point se réunit au premier, on a x"=x', y"=y,et alors la sécante devient tangente ; donc si on suppose, dansl’expression ci-dessus, x" = x' et y" = y', on aura la tangentetrigononiétrique de l’angle formé avec Taxe des x , parla tangentemenée à l’ellipse , au point qui a pour coordonnées x', y'. En dé-signant cette tangente trigononiétrique par a , il vient

Par suite l'équation de la tangente sera *

, b‘x' . ,

y—y =—-~ÿ (*—*).

ou , sous une autre forme,

a 7 y'y -\-b 2 x'x = a 2 y' 2 -J- b 2 x' 2 ,

ou enfin, en remarquant que b 2 x' 2 =a 2 b 2 , sous celle-ci :

[<] a'iy'y -j- b 2 x'x=a 2 b 2 .

Comme il n’y a qu’une valeur pour a, on ne peut mener parchaque point de l’ellipse qu’une seule tangente à cette courbe.

3ao. On peut ici, comme pour le cercle, prouver que la droiteainsi déterminée est tout entière hors de l’ellipse. En effet, si onreprend les équations.

<i 2 y'y + b 2 x'x = a 2 b *, a 2 y' 1 -j- b 2 x' 2 — a 2 b 2 ,

et qu’on retranche de la seconde le double de la première, le ré-sultat pourra être mis sous cette forme

a 2 (y — y') 2 + b 2 (;c{— x') 2 = a 2 y 2 -} -b 2 x 2 — a 2 b 2 .

I.a quantité u 2 y 2 -\- b 2 x- — a 2 b 2 est donc constamment [dus grande