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DEUXIÈME PARTIE.

et, en les retranchant l’une de l’autre, il vient

par conséquent on aura

N

Telle est la condition qui doit toujours être remplie lorsque deuxcordes sont supplémentaires.

Réciproquement, toutes les fois que cette condition est rempliepour deux cordes qui passent aux extrémités d’un diamètre, oupour deux cordes qui passent par un même point de l’ellipse, onest assuré qu’elles sont supplémentaires.

En effet, supposons qu’elles passent en G et G', et que leurintersection N ne tombe pas sur l’ellipse : soit M le point où G”\rencontre l’ellipse, et menons MG. Puisque MG et MG'sont descordes supplémentaires, on aura

tangMLx X tangMII.x

or, par hypothèse, on a

tan y MLx X tangiNK..r

donc tangMIlx = tangiXKx ; donc NG et MG se confondent.Supposons maintenant qu’on ait

tang MLx X tang MH.x

je dis que la ligne GAG' sera droite. S’il en est autrement, soitAO le prolongement de G'A , menez MO : on aura

tang JII jX X tang MLr

donc, à cause de l’hypothèse, il vient tang MHx = tang Mïa-,c’est-à-dire que MO se confond avec MG, et AO avec AG.

339. L’équation [1] est remarquable en ce qu’elle montre quele produit 77' demeure constant, non seulement quand on changela direction des cordes supplémentaires qui passent par les extré-mités d’un diamètre, mais encore quand on mène ces cordes parles extrémités d’un nouveau diamètre. De là il résulte que si deux