284 DEUXIÈME PARTIE.

eux :: PN + P'N' : PM + P'M'. Or, PN : PM :: P'N' : P'M' :: b : a;donc

PN+P'N':PM +P’M'

Les trapèzes correspondons étant entre eux dans le rapport con-stant de b à a , les aires des polygones seront aussi dans le mêmerapport ; et cela, quel que soit le nombre des côtés de ces poly-gones. Donc, ce rapport sera encore celui de leurs limites; donc,en nommant E et E' les aires de l’ellipse et du cercle, on a

E _bE' :

c ’est-à-dire que l’aire de l’ellipse est à celle du cercle, décrit surl’un des axes, comme l’autre axe est à celui-ci.

En désignant par v le rapport de la circonférence au diamètre,l’aire du cercle est ira’, et par suite celle de l’ellipse est

E = 7 -ab ;

donc l’aire de l’ellipse est égale à celle d’un cercle, dont le rayonest moyen proportionnel entre les demi-axes de l’ellipse.

356. Si a' et b' sont deux demi-diamètres conjugués formantun angle y, on sait (35o) que ab = a’b' sin y : on a donc aussi,pour l’aire de l’ellipse en fonction des diamètres conjugués,

E = 7ra'è'siny.

35 1 ;. Si, au lieu de l’ellipse entière, on ne considère qu’un seg-ment PP'N'N, compris entre deux ordonnées perpendiculaires àl’axe BC, et qu’on fasse un raisonnement semblable à celui qui aété fait pour l’ellipse entière, on trouvera en désignant par S lesegment d’ellipse, et par S'le segment correspondant du cercle,

S _bS '~a ’

d’où

S =

a

La quadrature du premier segment se ramène ainsi à colle du se-cond , laquelle est connue par la Géométrie.

358. Supposons qu’il s’agisse d’un segment d’ellipse, comprisentre un diamètre quelconque BC (fîg. 149 ) et deux ordonnéesPN, P'N', parallèles à sou conjugué. On décrira un cercle surBC comme diamètre ; 011 inscrira dans le segment d’ellipse uneportion de polygone NBH'N'; [mis, ayant mené les ordonnées