DEUXIÈME PAUTIE#

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Suf les signes et l'extension qu*il convient de donner au* coordonnéespolaires. Exemples.

45q. C’est une erreur assez commune de croire qu’il est permisde ne faire varier l’angle «que dans les limites de o à 3Go°, et donégliger tout-à*fait les valeurs négatives du rayon vecteur, commesi elles étaient imaginaires. La raison sur laquelle on s’appuie, c’estque le rayon vecteur, en tournant autour du pôle sans sortir dumême plan, ne peut revenir à sa première situation qu’après avoirpassé par tous les points de ce plan : d’où l’on conclut qu’il n’y aaucun point qui ne puisse se déterminer par une valeur positivede u moindre que 36o° et par une valeur positive de p.

Cette conclusion est exacte, mais elle ne s’applique qu’à despoints pris isolément, et qui se succèdent sans aucun ordre. Il enest autrement lorsque l’on considère les variables «et p dans uneéquation qui exprime la relation qu’elles doivent avoir pour tousles points d’une même ligne.

Supposons qu’une droite (fig. igô), d’abord confondue avecFa;, tourne autour du pôle F sans sortir d’un même plan, pen-dant qu’un point M, parti de l’origine, se meut le long de cettedroite, de telle sorte que la distance FM, correspondante àune position quelconque de la droite, soit toujours égale auquart de la longueur de l’arc AB décrit par un point B donnésur la droite FR. Le point M décrira une courbe ; et si on désignetoujours par » l’arc AB, et par p la distance FM, l’équation decette courbe sera

P=4«.

Si on ne fait croître a que jusqu’à 36o°, on trouve une courbetelle que FMII, qui se termine brusquement en II sur la ligneFx. Cependant il est évident que la droite FR, après s’être re-placée sur Fx, ne cesse pas pour cela sa rotation, et que la courbedécrite par le point M se prolonge au-dessus de Fx. Il en est en-core ainsi après chaque révolution de FR ; en sorte que la courbefait elle-même une infinité de circonvolutions autour du point F.Or, l’équation ne peut donner toutes les parties de cette courbequ’en faisant croître a jusqu’à l’infini : ce serait donc à tort qu’onvoudrait arrêter cette variable à la limite 36o°.