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DEUXIÈME PARTIE.

Ac 1 + Bc + C = o, (2Âc + B)rf+Dc + E = o;

et on en tire

B ± ^/B»-4AC i d

aA aAy'B 2 — 4 AC ’

D BD —aAE

2A 2A

râleurs qui reviennent à celles du n° 248. En les mettant dansl’équation y=cx-\-d, on aura les asymptotes.

Exemple II. Soit l’équation

y 3 — 3 axy-j-x 3 = o.

Dans ce cas, on a U = ?/ 3 +ai 3 , U, =— 3 axy, T=c 3 +i,T, = — 3 ac, T r = 3 c 2 ; et les équations [2] et [ 3 ] sont

c 3 -f— i =0, 3 c 2 d — 3 ac = o: d’où c = —1, d — — a.

Donc la courbe a une asymptote dont l’équation est y = — x —a.C’est la droite GH (fig. 2o5).

477. Plusieurs auteurs déterminent les asymptotes en les consi-dérant comme limites des tangentes. Cette proposition, qui a étévérifiée à l’égard de l’hyperbole (4«6), peut se démontrer d’unemanière générale. Supposez que le contact s’éloigne à l’infini, etque la tangente MR (fig. 206) devienne GII, dont l’équationest y = ex + d. Soient x', y', les coordonnées du point M;

y r

menez AM dont l’équation est y Quand le contact est

à l’infini, RiV^et AM devront être considérées comme parallèles :or, alors la tangente RM coïncide avec GII ; donc aussi alors AM

y r

doit devenir parallèle à GII ; donc limite de ^ = c.

Maintenant menez l’ordonnée MP qui rencontre GH en N, etmenez aussi AE parallèle à GII. La fig. donne ME=MP—PE= NE —MN. Mais MP=i/, PE = ca;', NE = AG = d; parconséquent y'— ca:' = d—MN. Or, quand le point Ms’éloigneà l’infini, puisque la. tangente devient GII, il faut que la dis-tance MN devienne nulle ; donc limite de (y' — cx')=d.

Ainsi, on voit que les valeurs de c et d sont les mêmes pour leslimites des tangentes que pour les asymptotes.