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DEUXIÈME PARTIE.

CHAPITRE XVII.

QUELQUES QUESTIONS CHOISIES.

5o9.. Problème I. Trouver l’équation d’une section conique quipasse cinq points donnés.

Choisissons les axes de coordonnées de manière que chacund’eux contienne deux des points donnés, et désignons par y' et y"les ordonnées des points A et B (fig. a3o) situés sur la ligne des y,par x' et x" les abscisses des points C et D situés sur la ligne desx, par x'" et y'" les coordonnées du cinquième point E.

On exprimera les conditions de la question en substituant suc-cessivement les coordonnées de chacun de ces points, à la placede x et y , dans l’équation générale

[À] Aip-j- Bxy 4- Cx 2 -J- Di/ -f-Ex-j-F = o.

De cette manière, on a les cinq équations

A y” + T)y' + F = o, Ai/" 2 + D/ + F =o,

Cx' 2 + Ex' + F = o, Cx" 2 + Ex" + F=o,

A?/'" 1 + B x'"y"' + Cx'" 2 + Dÿ'" + Ex'" + F = o.

Les inconnues] du problème sont des coefficiens de l’équation[A]. Parmi eux il y en a toujours un qui reste arbitraire : supposonsque ce soit F, divisons toutes ces équations par F, et on trouve

A _ i D _— y' — y " C i E — x' —x"

F y'y* ’ F ~ y'y'' ’ F ~ ï/ ’ F ~ ’

B i — % x »’( x >"— x "-. x >) t ^

F - x"'y"\ y y + x'x" +, J’

En divisant aussi l’équation [A] par F, et remplaçant alors lescoefficiens par ces valeurs, on obtient l’équation demandée.

Si, parmi les points donnés, il n’y en a pas trois en ligne droite,aucune des quantités x', x", y', y", x'", y"’, n’est zéro ; donc les