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DEUXIÈME PARTIE.

Supposons maintenant que les angles soient dans une positionquelconque, que les côtés AR et RS se coupent en M, et que,suivant les conditions de l’énoncé, les côtés AR' et BS' aillentrencontrer LL' au môme point N. Désignons les coordonnées dupoint M par x et y, et celles du point N par x', y'. R y aura troisconditions à exprimer : i° que le point N est sur la ligne LL';a° que la tangente de l’angle MAN est égale à a ; 3° que celle del’angle MBN est égale à b. C’est ainsi qu’on parvient aux équations

?/'=«(,*'— p),

y'x—x'y

r i t - " y

XX +yy'

y' (x — d )—y (x' —d) _

{x—d)(x'—d)+yy'~ ’

et il n’y a plus qu’à éliminer les variables x' et y', pour avoirl’équation de la courbe cherchée. R vient pour résultat

(ja — b)a—(aa + i)^y t + Qa — b)a + b{K—a)^c

■(jfib — i)x+a + b^-xy — ((ab+i)ad — b(ax+i) ( —^y(\a — b) ailb {a — a)^~^X — o;

donc le lieu cherché est une courbe du second ordre.

5o6. Cette équation est trop compliquée pour qu’on reconnaissefacilement si elle est susceptible de donner chacune des troiscourbes. Mais voici un cas particulier qui est assez remarquable,et qui lève tous les doutes.

Prenons la directrice LL' perpendiculaire à AB, l’angle RAR'= ç)o°, et l’angle SBS' = o : il faudra faire «=oo ,a = ao , b— o.Mais avant d’introduire ces hypothèses dans l’équation, il fautpréalablement la diviser par «a. De cette manière il vient

(/ 3 — d) y , -\-px 1i — dj3x = o :

(■quation qui, toute particulière qu’elle est, peut encore repré-senter les trois courbes. Pour en déduire une parabole, il faut ladiviser par d et faire ensuite d — œ.