4()'2 TROISIÈME PARTIE.

ces produits le sont aussi : d’ailleurs il est clair qu’alors les projectionsA'B', B'C', C'D', s’ajoutent pour composer A'D' ; donc on a

[q] /cos ct-|-/' cos «*' /" COS 6 t" = L cos ?.

Mais s’il y a des angles obtus; par exemple, si DCR" ou ai" est obtus(fig. 3 ), il faut retrancher la projection C'D' des precedentes, pour avoirA'D'. Alors aussi /"cos a" est un produit négatif; d’où il suit que laformule ci-dessus donne encore la valeur de A'D' ou Lcos ?.

En général, quel que soit le nombre des côte's placés entre les som-mets extrêmes, il est facile de voir que les angles obtus dounent dc 9projections qu’il faut retrancher de celles qui répondent aux angles ai-gus, pour composer la projection de la résultante : et comme l’expressionde chaque projectiou est par elle-même additive ou soustractive, suivantque l’angle est aigu ou obtus, il s’ensuit que la formule [a] a toujourslieu sans aucune restriction.

Cette formule n’est au fond que la traduction analytique de ce prin-cipe évident par lui-même, que la somme des projections de plusieursdroites consecutives , sur un arc quelconque , est égale h la projection dela ligne résultante.

Je ferai usage de ce principe pour la transformation des coordonnéesdans l’espace; et le lecteur qui serait pressé de connaître les méthodesemployées dans l’application de l’analyse aux surfaces, peut dès à présentpasser au chapitre suivant.

517. Quand les droites successives, qu’elles soient dans nn même planou non, forment un polygone fermé, on a L = o, et par conséquentL C 09 0 == o; donc, dans tout polygone fermé , la somme des projectionsdes côtés sur un tire quelconque est égale a zéro.

Dans un polygone ferme' un côté est la résultante des autres côtés, etle dernier énoncé ne somble pas s’accorder avec le précédent. La diffi-culté disparaît en faisant attention que, dans les deux cas, les anglesformés par ce côté, avec l’axe de projection, sont supplémens l’un del’autre. Ainsi, dans la fig. a, si on considère AD comme la résultante,c’est DAR qu’on prend pour l’angle de cette ligne, avec l’axe de pro-jection; et si AD est considéré comme côté du polygone, ce sera l’angleADR"' de même que BAR, CBR', DCR", sont les angles des côtésprccédens avec l’axe.

5 18. Plaçons l’axe de projection dans différentes situations. Prenons-led’abord parallèle à la résultante; alors p = o et Lcos? = L : c’est laplus grande valeur que ce produit puisse avoir. Si l'axe est dans un planperpendiculaire à la résultante, on a 0 = 90° et Lcos? = o. Enfin, sil’axe, tout en changeant de position, continue de faire le même angleavec la résultante, le produit Lcos? restera toujours le même. De làles conséquences suivantes :

i° La somme des projections de plusieurs droites consécutives est laplus grande possible , quand lare de projection est parallèle à la résul-tante ; et cette somme maximum est égale a la résultante elle-même.

2° l.a somme des projections est nulle sur tous les axes perpendiculairesh la résultante.