GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 403

3° Cette somme reste la même pour tous les axes qui font avec larésultante des angles égaux.

Remarque. On peut Étendre ce qui précède à un système des droites,disjointes. Mais alors il faut concevoir ces droites transportées paral-lèlement à elles-mêmes bout à bout, de manière qu’elles forment uneportion do polygone; et on prend pour résultante la droite qui achèvele polygone.

Relations qui résultent des projections faites sur dilférens axes.

519. Soit OG (fig. 4) une droite donnée, et soient OX, OY, OZ, troisaxes perpendiculaires entre eux : si, par le point G, on mène des plansparallèles aux plans YOZ, XOZ, XOY, on forme un paralle'lipipèderectangle, dont OG est la diagonale, et dont les arêtes contiguës OA,OB, OC, sont les projections de OG sur les trois axes. Or, le carré de ladiagonale du parallélipipède est égal à la somme des carrés des troiscôtés contigus; donc la somme des carrés des projections d’une droite,sur trois axes rectangulaires, est égale au carré de cette droite.

Pour convertir cet énoncé en formule , on fera OG—/, OA=p,PB — q, OC = r; et on aura

[3] l^ + f + r'=&.

5ao. Si on suppose OG — 1, il est évident que OA = cosGOX,OB = cosGOY, OC —cosGOZ; par conséquent, en nommant*, (l, y,ces trois angles, il vient

[4] cos’*-(-cos , /3-(-cos , ^= I t

c’est-à-dire que les angles d’une droite avec trois axes rectangulairesdoivent toujours être tels que la somme des carrés de leurs cosinus soitégale a l'unité.

5a 1. Maintenant prenons un système de droites l , l' , qui peuventêtre consécutives ou disjointes; nommons L la résultante, et supposonsqu’on projette l, l' , /",.•• sur trois axes rectangulaires. Si on ajoute lesprojections faites sur un même axe, on aura trois sommes qui devrontêtre respectivement égales aux projections de L sur lc%mêmes axes (5i6).Par conséquent, si on nomme P, p, p',... les projections de L, l,sur le premier axe; Q, q, q' .... les projections sur le second; etR, r, r ,... les projections sur le troisième, on aura

P + P' + -= P . <7+</'+ —= Q> r-f-/-f-... = R.

Or P a -f-Q a -f-R 1 — L* (619) j donc ,

[5] 0»+P , + -) , +to+7 , + -) , + (r+i' + ..0* = L*.

Les trois quantités p+p'-f ..., <7 + </ + — , r+ r' + ..., changent enmême temps que les axes rectangulaires; mais l’égalité précédente prouveque la somme de leurs carrés est une grandeur constante, égale au carré dela lésultante, quelle que soit la position des trois axes rectangulaires.

On a remarqué (5i8) la direction de la résultante L comme étant pa-