CÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 4()5

à un nombre quelconque de droites. Ainsi , P, Q , R, e'tant les projec-tions d’un système de droites sur trois axes rectangulaires, et S sa pro-jection sur le nouvel axe , on doit avoir

[7] S= P cos aQ cos/x-J-R cos *.

5i3. La formule [6] conduit aussi à une relation remarquable entre lesangles. Désignons par 8 l’angle GOV de la droite l avec le nouvel axe,sur lequel la projection de l est e'gale à j, on aura s=/cos8 : d’ailleurs,on a p — lcos «, q— / cos yê, r = /cos y. En mettant ces valeurs dans [6],et ôtant le facteur /, on trouve

[8] cos 8 = cos a cos A -j- cos y8 cos /“ + cos y cos ? :

formule d'un usage fréquent , au moyen de laquelle on oblienl l’anglede deux droites quand on connaît les angles que chacune d'elles fait avectrois axes rectangulaires.

En posant cos 6 = o, cette formule donne

[9] COS et cos X -f- COS yê COS cos y cos ? = 0 :

c’est la condition qui doit avoir lieu pour que les deux droites soient àangle droit.

La formule qui exprime sin 0 est beaucoup plus compliquée. En effet,on a sin 1 0 = 1 — cos* ô : or, à cause de la relation [4] trouvée plus haut,on a (cos* et -|-cos* yÔ -J- cos* y) (cos* cos* yu -|-cos* ? ) = 1 ; donc

sin* ô = ( cos* et + cos* & + cos* y ) ( cos* x cos* yu cos* ? )

— ( COS et cos X + COS yë COS cos y cos ? )*,

et, en effectuant les calculs, on trouve facilement

sin 0 —

\/ (cos et COS jU-COS \C0Sy6 )*-|-(COS et COS T-COS X COS}-)*-|-(cOs£ COS 1-COS/A COS>)* .

5*4- Le principe des projections, n° 5i6formule [a], conduit encore àdes relations fort remarquables entre les parties d’un parallélipipèdeoblique, et qui sont d’une grande utilité dans les applications.

Soit (iig. 5) le parallélipipèdc dont il s’agit : je ferai OG=/, OA = ar,OB= r, OC = *, GOX = it, GOY= yÊ, GOZ = >, XOY— x, XOZ = f* ,YO2 = ?. Cela posé, je projette la ligne brisée OADG, ou ar-J-y-t -z fd’abord sur la diagonale OG , et ensuite sur chacune des trois arêtescontiguës OX, OY, OZ. On aura quatre sommes qui devrout être res-pectivement égaies aux projections de OG ou l sur les mêmes ligues. Onobtient ainsi les quatre équations :

cos et cos yÔ -J- zcos y = l,

X COS X + Z cos fA.z=zl COS et ,

.r cosx-f-y-j-z cos? = l casX COS f +r cos ? + z<=.l cos y .

Telles sont les relations qu’on voulait e'tablir. Toutes les autres qu’onpourrait trouver entre les <lix quantités l, x ,y, z , a,.. , ou entre quel-ques unes d’entre elles, seraient des conséquences de celles-là. Ou s’en