TROISIÈME PARTI*.

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rallèh: aux axes sur lesquels la somme des projections du système l, l'est un maximum; et on a vu aussi que la longueur L est précisément cemaximum. Or, il est facile de déterminer par des formules la grandeuret. la direction de L, quand on connaît l , l',... et les angles de ces droitesavec les trois axes rectangulaires. En effet, désignons ces angles para., 0, y; 0‘, y'• etc., on aura

p = Zcosa, p'=l' cos a', etc.,q = l cos0, q'=l' cosyS', etc.,r = / cos y , /=: l'cos y, etc.;

donc

P = / cos a -|" ? cos a, + etc. >

Q= l cos 0 + f cos 0'-\- etc.,

R = l cos y + V cos >'■+• etc..

Ainsi, les trois projections P, Q, R, de L, sont connues.

En nommant <p, <f', q", les angles inconnus de L avec les axes, onsait que

L cos p = P, L cos p' = Q, L cos p" = R ;et d’ailleurs, par le n» 5ig, on a aussi

L’^P’ + Q’ + R*.

De ces quatre égalités on tire

L = l/ P’-j-Q’ +R a , cosp = ^-, cose' = -^, cosp"=-5-.

La première formule donne la grandeur de la ligne résultante, et lestrois autres en déterminent la direction. Toutefois, il faut se rappelerque, les projections sur des axes parallèles étant égales, ces détermina-tions ne font pas connaître un axe unique, mais bien une infinité d’axesparallèles entre eux.

5aa. Revenons au parallélipipède (fig. 4) dans lequel OG est une droitedonnée, et OA, OB, OC, les projections de cette droite sur trois axesrectangulaires. Si on projette ces trois arêtes, ou leurs égales OA, AD,DG, sur une droite quelconque OV, il est évident (5i6) que la sommede ces trois projetions sera égale à la projection de OG sur la mêmedroite. Donc , quand on connaît les projections d’une droite sur trois axesrectangulaires, on aura sa projection sur un axe quelconque , en projetantces trois projections sur cet axe , et en faisant la somme de ces nouvellesprojections.

Pour mettre cet énoncé en formule, supposons, comme plus haut, queles projections d’une droite Z, sur les trois axes, soient p> q ,r, nommonss sa projection sur le nouvel axe, et x, p , i, les angles de cet axe avecles axes rectangulaires : on aura, par ce qui vient d’être dit,

[6] s = p cos x -j- q cos p. + r cos 7.

En général, la somme des projections de tant de droites qu’on voudraest toujours égale a la projection de leur résultante, quels que soient lesaxes de projection (5i6); et de là il suit qu’on peut étendre la formule [6]