TROISIEME PARTIE.

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et, en éliminant J et <T' au moyen des équations x= $z et y = l'z, ontrouve, pour le lieu géométrique des diamètres infinis,

p x >_|_py_PV=: 0 .C’est l’équation du cône asymptote. (*)

668. IJn paraboloïde hyperbolique peut aussi être coupé suivant deshyperboles. Il a pour équation

P'y a — P "z* = nQx ;

et, en changeant P" en —P ,f dans l’équation [ 4 ] du n° 663 , on reconnaîtsur-le-champ que les parallèles menées par l’origine aux asymptotes deces hyperboles ont pour équations

Ces valeurs sont indépendantes de et et de jÊ, et montrent que les paral-lèles aux asymptotes de toutes les sections hyperboliques ont pour lieu

géométrique deux plans parallèles aux diamètres de la surface.

669. Je ferai remarquer ici certaines formes d’équations, sous lesquellespeuvent se présenter les hyperboloïdes et les paraboloïdes hyperboliques.

i° On peut rapporter chacun des hyperboloïdes à trois quelconques de

ses diamètres inûuis. Alors, il faut que les intersections de la surface parles plans coordonnés soient des hyperboles entre leurs asymptotes ï or,

cela exige que l’équation de la surface ne contienne ni les premières puis-

sances des variables, ni les secondes; donc on peut comprendre les deuxhyperboloïdes dans une équation telle que Sxy-f-S / xz-|-S , y.s:=G.

n° Si les y et les z seulement sont pris sur deux diamètres infinis, et sion laisse l’origine au centre, et les x sur le diamètre conjugué des sec-tions parallèles au plan des deux premiers diamètres, la nouvelle équationdevra donner des hyperboles entre leurs asymptotes, quand on couperala surface par des plans parallèles à celui de yz \ et comme d’ailleursl’origine est encore au centre, on conclut facilement que les hyperbo-loïdes ont aussi une équation de la forme Rx*-|-Syz = G.

3 ° L’équation du paraboloïde hyperbolique étant P'y a — P z=zvQx ton a vu (614) que le plan de yz coupe la surface suivant deux lignesdroites, et que les sections parallèles sont des hyperboles qui ont leur 9centres sur le diamètre des x , et leurs asymptotes parallèles à ces droites.Changeons les axes actuels des y et desx, et remplaçons-les par ces deuxdroites : on reconnaîtra aisément qu’après la transformation, l’équationdu paraboloïde hyperbolique doit se réduire à la forme S/a-f-Ra: =: o.

Sections rectilignes de l’hyperbole à une nappe.

6^0. Quel que soit le point que l’on considère sur l’hyperboloïde à unenappe, on peut toujours mener uq diamètre à ce point, et rapporter la

(*) Quand un hyperboloide est l'apporté à trois diamètres quelconques, son

équatiou est de la forme Px 1 P'y*-(--J-Sxy-f-S'x-s-f-S^z — G. Si alors011 lui applique les calculs précédens, on trouvera qu’il suffit d’y remplacer G parzéro pour avoir le c 6 ue asymptote.