GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 485
surface à trois diamètres conjugués dont celui-ci fasse partie. Alors, sone'qualion est
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fl , r!_£_
a 2 ô a c a
Supposons que le premier diamètre soit celyi des y t et faisons y — b , ilviendra
d’où l’on conclut qu’on peut mener deux droites sur Vhjrperbohïde à unenappe , par chacun de ses points.
Le plan de ces droites est tangent à l'hypcrboloïde, puisqu’il est paral-lèle au plan diamétral conjugue' du diamètre qui aboutit au point quel’on considère sur la surface (656). Il est c'vident, d’ailleurs, que cela doitêtre : car ces droites sont elles-mêmes leurs tangentes, et à ce titre ellesdoivent être dans le plan tangent.
671. Considérons sur la surface une ellipse quelconque ABC (fig.45)située dans un plan qui passe par le centre O, et qui a OZ pour diamètreconjugué. Par tous les points de cette ellipse, menons les droites AG,\BH,... tangentes à cette courbe , et les droites AD, BE,... parallèles àOZ. D’après ce qui précède, les deux droites de l’hyperboloïde, quipassent au point A, sont situées dans le plan tangent DAG; et l’équa-tion [1] prouve qu’elles sont de côtés différens par rapport à la ligne AD.
Pour fixer les idées, imaginons qu’on tourne autour de l’hyperboloïdedans le sens ABC... ; et alors on distinguera, sur cette surface, deuxsystèmes de droites : l’un , composé des lignes AP , BQ,... qui ont leurpartie supérieure^ droite des parallèles AD, BE,... ; et l’autre, des lignesAP', BQ',... qui ont leurs parties supérieures à gauche de ces mêmes pa-rallèles. Quand l’hyperboloïde est de révolution , les droites du premiersystème font avec l’axe le même angle que celle du second, et la surfacepeut alors être engendrée de deux manières différentes par la rotationd’une droite.
67a. La disposition précédente étant bien comprise, considérons deuxdroites quelconques AP, BQ, appartenant au même système, et menonsparallèlement à OZ, par le point de concours des tangentes AG et BH,la ligne SGS' qui rencontre l’hyperboloïde en S et S'. La ligne SGS' estl’intersection des plans tangens DAG , EBH ; et il est clair que si les deuxdroites AP et BQ, qui sont respectivement dans ces plans, se rencontrent,ce ne peut être que sur la ligne SS'. Mais , d’un autre côté, il est évidentque AP doit passer au point S, et BQ au point S' ; donc ces droites ne serencontrent pas. Le même raisonnement montre, au contraire, que deuxdroites de systèmes diflérens, telles que AP et BQ', iront couper SS' aumême point S. Donc , en général, deux droites prises dans un même sys-tème ne se rencontrent pas , et deux droites de systèmes differens se ren-contrent toujours.
673. L’équation [1] montre que les droites qu’on peut tracer sur l’iiy-perboloïde à une nappe, par chacun de ses points, sont parallèles auxasymptotes des sections parallèles au plan de ces droites j et de là on