GÉOMÉTRIE ANAl.YTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 491

faisant tourner le plan autour de OB, la ligne OD prend toutes les grandeurs entre OA et OC; donc il existe une position pour laquelle OD —OB.Alors la section est un cercle, ainsi que toutes les sections parallèles.

La symétrie de l’ellipsoïde, relativement, à ses axes, prouve qu’en fai-sant l’angle COD' =COD, le plan D'OB coupera encore la surface sui-vant un cercle. Les deux plans DOB, D'OB, se confondent avec le planCOB quand OB = OC; et avec AOB, quand OBrnOA. Dans ces deuxcas, l’ellipsoïde est de révolution.

On a mené le plan DOB par l’axe moyen : il est clair que si on l’eûtmené par l’un des deux autres, on n’eût pas obtenu de cercle. Par exem-ple, s’il passe par OA , la section sera une ellipse dont OA est un demi-axe , et dont l’autre demi-axe, qui est compris entre OB et OC, ne peutpas devenir égal À OA.

68(3. Voici une autre manière fort simple do trouver les cercles BD etBD'. Prenons l’équation de l’ellipsoïde rapportée à scs plans principaux,

[P] Paf+P'yH-P'z^H;

et écrivons-la ainsi

Px»+ P' (x ’+y*4-e’) + PV=Il+P'x’+ PV,

ou encore, de cette manière

P' (x’-hrM-**) = H+ (P'—P) x’—(P"— P') z*.

Il est évident quo cette équation est vérifiée en posant à la fois cesdeux-ci :

P'(x»+ r *+z’) = II, (F—P)x’=;(P"—F)z’.

La première est celle d’une sphère qui a pour rayon le demi-axe OB. Ladeuxième représente doux plans passant par ce demi-axo : car elle donne

_F

P ’

Par conséquent, les cercles résultant de l’intersection de la sphère avecces deux plans sont situés sur l’ellipsoïde.

Mais, pour que ces valeurs de x déterminent réellement des plans, ilfaut que la quantité qui est sous le radical soit positive, et cela exige queP' soit compris entre P et P® i c’est-à-dire quo les plans, doivent passerpar l’axe moyen.

687. Les démonstrations précédentes peuvent être facilement modifiéespour les autres surfaces; elles sont simples et élégantes, mais elles ont ledéfaut de ne point apprendre si les sections circulaires qu’elles font con-naître sont les seules qui existent. C’est pourquoi nous allons reprendrecette recherche par une analyse propre à donner une solution , à la foisgénérale et complète , de toutes les questions qui ont pour objet les inter-sections des surfaces par des plans.

Quelle que soit la surface dont il s’agit, supposons (fig. 5i) qu’elle soitrapportée à trois axes rectangulaires Ox, Or, Oz, et qu’on veuille lacouper par un plan quelconque. Je prends à volonté le point O' dans ceplan, et je mène O'B, O'S, O'T, parallèles à Ox, Oy, Oz. Soit RO'x'zz:*l’angle que fait avec O'B la trace de ce plan sur le plan RO'S ; et soit 9