TROISIEME PARTIE.

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l’inclinaison du premier plan sur le second. J’e'lève dans le plan sécant laligne (y y* perpendiculaire à O'x'.

Désignons par/, g, h, les coordonnées du point O' rapporté aux axesOjt, O y, O z; par x ,y, Z, celles d’un point quelconque du plan coupantrelativement aux mêmes axes; et par x',y, celles du même point relati-vement aux axes O'x', O'y. On a trouvé (5g3) les formules

x = x! co s p —y sia p cos 0 +/,

[r] J r=x ' sinp -(-y'cosp cos0 +g',

z ~y sin0 -| -h. ;

et en mettant ces valeurs dans l’équation de la surface proposée, on aural’intersection de cette surface par le plan.

Pour plus de simplicité, ne considérons d’abord que les surfaces dusecond ordre qui ont un centre , et effectuons cesr substitutions dansl’équation

[E] Px’+P' r ’+P"2* = H,

dont les coordonnées peuvent être supposées rectangulaires. On trouveun résultat de la forme

Ay ’+B-r/'-j- Car' ’+ Dy'-f- F = o,dans lequel on a

A = P sin 1 p cos’ 0 -f-P'cos’ p cos’ 0-j-P"sin’ 0 ,

B = 2 (P'— P) sin p cos p cos 0 ,

C P cos’ p -J-P'sin’ p :

et, pour obtenir un cercle, il faut poser B=o et A = C, c’est-à-dire

[ 2 ] (P’—P) sin p cos pcos 0 = o,

[3] Psin’ p cos’ 0 P'cos’ p cos’0 -j-P"sin’ 0 = P cos’p -(-P'sin’ p.

En général, P' étant différent de P, l’équation [ 2 ] ne peut être vérifiéequ’en prenant ou cos 0 = 0 , ou sin p = 0 , ou cos p = 0 .

La première hypothèse , cos 0r=o, change l’équation [3] en

P cos’ p -(- P'sin’ p= P".

Dans le second membre, on peutjnettre P"(cos’ p-f-sin’p) au lieu de P,et alors on a successivement

P cos’ p-f-P'sin’p = P"cos’ p P''sin’ p,(P'— P”) sin’ p = (P n — P) cos’p,

_, ./P^T 5

5^-V p/_p»'

tang

La seconde hypothèse, sin p = 0 , réduit l’équation [3] à' P'cos’ 0 -(- P n sin’ 0 = P.

Par suite, on a

l v cos’ 0 -j-P w sin’ 0 =P ces’ 0 -J-P sin’ 0 ,(P"_P) sin’ 0 = (P —P') cos’0,

/ p_p

lang0=±y jvriTr-