•496 TROISIÈME PARTIE.

se confondre avec la première; elle peut aussi se réduire à une simpleligne droite , ou a un point'unique , ou meme devenir imaginaire.

690. Théorème. Dans une surface du second ordre, deux cercles quel-conques appartenant a deux séries différentes sont toujours situés sur unemême sphère.

Cette propriété est une extension de celle qui a été donnée n° 470 pourles sections sous-contraires du cône oblique; et voici comment on peut ladémontrer.

Soit (fig. 5 a) MNPQ le plan principal d'une surface du second ordre,sur lequel sont pei'pendiculaires les deux séries de plans qui coupent lasurface suivant des cercles; et soient MN, PQ, les diamètres de deux deces cercles pris dans les deux séries. Concevons qu’une sphère soit décritedu même centre et du même rayon que le cercle qui passe par les troispoints M, N, P. II est clair que le cercle MN est contenu sur cettesphère, et qu’ainsi il est une intersection de la sphère avec la surfacedonnée. Donc l’autre courbe d’intersection est plane, et par conséquentc’est un cercle; car, sur la sphère, toutes les courbes planes sont descercles. Ce cercle, devant se trouver sur la surface donnée et passer aupoint Pjest compris dans l’une des deux séries de sections circulaires. Ilne peut pas être le cercle PR parallèle au cercle MN ; car s’il en étaitainsi, ces deux cercles, appartenant à une même sphère, devraient avoirleurs centres sur un diamètre perpendiculaire à leurs plans, et dès-lorsles cordes MN et PR devraient être perpendiculaires à leur diamètreconjugué. Or cela est impossible, à moins que la surface ne soit de révo-lution; et, dans ce cas, les cercles PQ et PR coïncideraient. De là il suitque la seconde courbe d’intersection doit être le cercle PQ, ce qui dé-montre le théorème.

69Ï. Théorème. Quand deux surfaces du second ordre ont un plan prin-cipal commun , Vinlerscclion des surfaces se projette sur ce plan suivantune ligne du second ordre.

Prenons le plan principal commun pour celui de xy, et choisissons leszperpendiculaires à ce plan. Les équations des deux surfaces ne devrontcontenir aucune puissance impaire de 2, et seront de la forme

ax % -j- a!y* -j- a ,f z 2 -j- bxy -j- ex -j- c'y d^f =ro.

Or si, pour éliminer z, on les retranche l’une de l’autre, après les avoirmultipliées respectivement par a 11 et A", le résultat sera une équation dusecond degré en x et y; donc, etc.