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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS,lions [ 3 ] deviennent

(Px’+PV’-f- P" 21 ) x '— aQ.ï 2 , xx'= {xy-\~fiz) x'-\-yx.

1! n’y a plus qu’à éliminer x' ; et ou trouvera, pour le cône,

[ 5 ] ( X _«y —£*).

Maintenant coupons ce cône et la surface proposée, par un plan paral-lèle à celui dejyz. Pour cela , faisons x~\ dans [i] et [ 5 ] : il vient

P'jr’+PV = îQx— Pâ‘,

PV+ PV =-^ (è — o.y — (Lz) — Pa\

En changeant le plan de la base du cône, les quantités et , /? f y, varient;mais dans ces équations les termes du second degré demeurent les mêmes,et par conséquent elles représentent toujours des courbes semblableset semblablement situées. C’est cette propriété qu’il fallait démontrer.( Toutefois , il peut se faire que ces courbes soient des hyperboles diffé-remment tournées. )

Le théorème qui vient d’être démontré est l’extension d'une propriétéconnue dans la sphère ( n® 5 i 4 > 1 ) > et sur laquelle Ptolémék a fondé laconstruction des mappemondes telles qu’elles sont encore en usage au-jourd’hui.

689. Théorème. Si deux surfaces du second ordre se rencontrent suivantune première ligne plane, elles se couperont encore suivant une autre ligneplane.

Prenons, ainsi que l’a fait M. J. Binet, le plan de la ligne communepour celui de xy y et supposons que les équations des deux surfaces soient

[1] Ax 3 -^-A r y 3 -{- A"s a -|-B;ry-t- T\'xz-\-Wyz

+ Cx + Cy+ C "z+ F = 0 ,

[2] ax* -{** a'y* a^e 11 -J- bxy-\* b'xz -|- b"yz

+ ex + e'r+ c"z +f—

En faisant z —:o, les^équations résultantes doivent représenter la mêmeligne- et, pour cela , il faut que les coefîiciens de ces équations soientproportionnels. Ainsi, f étant le rapport de A à a , on aura

A = aÇj A 'tzza'Sf B = bg t C = cç, C / = c / f, F =/?.

Maintenant, multiplions l’équation [2] par f, et alors retranchons-la del’équation [1] : les termes qui ne contiennent pas z se détruiront, et ilviendra

(A"— «" f )z 3 +(B'— ô / f)^+(B / '— + * = °-

Les coordonnées de tous les points communs aux deux surfaces doiventsatisfaire à cette équation : or, elle se partage en deux autres,

z=i o, et (A*'——2/f)^-f-(B"— b !, ç)y-{- C"-—c"f = o,

lesquelles représentent deux plans ; donc l’intersection des deux surfacesse compose de deux lignes planes. Dans certains cas, la seconde ligne peut