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TROISIÈME PARTIE.

C’est ce qu’on Toit encore comme il suit. Une droite passant par lecentre a pour équations x = az, y •xz.bz; et quand on cherche ses inter-sections avec la surface, on trouve

(a+Z>) a +6 a -(- a

Ces valeurs, ainsi que celles de x et de y*, sont réelles, quels que soienta et b ; par conse'quent la surface est rencontrée par tous ses diamètres :donc elle est un ellipsoïde.

Ou parvient aussi à cette conséquence au moyen des sections paral-lèles au plan de yz. Soit fait x = a. dans l’équation [a] , il vientay' 1 -|-a« a -|-aatv*-)“«t a — 4 z= °> ou

z*+ (r+v*)* = a — i **.

En prenant quel que soit d’ailleurs le signe de on voit que

les sections sont des ellipses ; mais , en prenant <t> V^8» elles sont imagi-naires. Par là , l’ellipsoïde est clairement désigné.

Exemple II. Soit proposé l’équation

[ i ] a z* — ixy — ix z + t^yz + — 3 = o.

Le centre sera donné par les équations

x —y — z~ 0 , y — x -f- iz -4» I = o, ’Xz — a:-J- 2 y* = 0 .

On en déduit x = o, i,z = —ij donc il y a un centre unique. Ontrouve G =— a, et par conséquent la surface rapportée au centre a pouréquation

az a — zxy — zxz -|- 4yz —

w

On a ici L = a , M = — \, N — — Par suite on aura donc x 3 — ax’-r* + i = o; et puisque cette équation a deux variations, la surfaceest un liypcrboloïde à une nappe.

On arrive immédiatement à cette conclusion, en remarquant que leplan actuel de x y rencontre la surface suivant des droites. En effet, si onpose z — o dans [a], il vient

ar’-J-y ’—ixy — a, d’où y~x±[/x.

Exemple III. Soit l’équation

[i] x* — ar*+ z ’+ "y— 4*s + 4y + 4 z — 9 = °-

On trouve le centre par les équations

x-\-y — as = o , — ajy -(- x -j- a = o, z — a* -{- a = o ,

lesquelles donnent x — a , y = 2 , z = 2 , et par suite G = — 1 . Ainsi, lasurface rapportée au centre a pour équation

x *— ay’-f - 2’-}- — 4 ** — 1=0.

Les valeurs de L , M , N , sont L = o, M — 8, N = 5 ; et l’équation[x] devient x 3 — 8x — 5 = o. Comme elle n’a qu’une variation , la surfacedoit être un hyperholoïde à deux nappes.