GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 501

Si les coordonnées étaient obliques, on ne pourrait plus se servir del’équation [\]. Alors, après avoir mis l’origine au centre, on chercherales intersections de la surface avec les plans coordonnés} et comme ontrouve trois hyperboles, on reconnaît bien que la surface est un hyperbo-loïde, mais on ne voit pas qu’il est à deux nappes. On s’en assure, en exa-minant si un plan mené par le centre peut la couper suivant une ellipse.Or, l’équation d’un tel plan est z= ax + et, en éliminant z de l’équa-tion [o], il vient

(a*—4 a + 0 **+ (&*—»),y*+a(û& — i) xf — 1 = 0 .

De là, en posant ç = *ab — 8n + 36*— 3, on tire

_ (zb —. ab — i) y ±j/ f ,r a + aa — 4 a + 1

X a a — 4 a -f- I

Au moyen de ces valeurs île r, on aperçoit facilement que si on prenda = 2 et b <v/j, 1* section est imaginaire. Ainsi , les plans menés par lecentre ne donnent pas tous des sections réelles : or, cela suffit pour recon-naître l’hyperboloïde à deux nappes.

Exemple IV. Soit l’équation

[i] 3 +y’ + *’—*ry— 3xz + y z + 2 = o.

Pour le centre, on trouve x ——y , z = o. En y plaçant

l’origine, l’équation [ 1 ] se change en ’

[a] 3*’+r , +*’— 3a; *+J ri! +-y = o-

L’équation [x] devient * , +TT*’ + ft 7 x +r^=° ; et, puisqu’il n’y aque des permanences, les trois racines sont négatives : donc la surface estimaginaire, ou, en d’autres termes, l’équation [ 1 ] est impossible.

Soient x = az, y = bz , les équations d’une droite menée par le centre ;eombinons-les avec l’équation [ 2 ] : il vient

(3<j , + 6 ’+ i — 3ai — 3a + £)z’ +V = 0 ,

ou, sous une antre forme,

[(6-« + H’+a(«-{)•+*]*• = -¥•

Quels que soient a et b> les valeurs de z ne peuvent pas devenir réelles;et cela prouve encore que l’équation [i] est impossible.

Exemple V. On propose l’équation

[i] 3;c a -|-ay a — nxz-^fyyz — t\x —8 z — 8 = o.

Pour le centre, on trouvera æ = o,j*= 2 , z — — a; et en prenant cepoint pour origine, l’équation [ 1 ] se change en celle-ci3:r a -}-ajy a — vxz-^-^yz— o ,

laquelle peut donner ou un cône ou un point unique. Mais une sectionpar un plau qui ne passe point par l’origine fait disparaître toute incerti-tude. Par exemple, soit 1 : il vient

4 .Y z — 2 £+ 3 = o-