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GEOMETRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. Ô 05

La première et la troisième donnent x =—y + 7 > 2 == —+ et > eumettant ces valeurs clans la seconde, il vient 3 = 2, absurdité qui montreque la surface est dénuée de centre.

Pour la section faite par le plan de xz, on trouve l’équation x’-J-sz’—3 x— 3 z = o, laquelle représente une ellipse; donc la surface est un pa-raholoïde elliptique.

Exemple II. Soit

[i] x*-\-y* — 2 ^/*+ Qx«+ iyz — fa —*a^-|-2z = o.

Je forme d’abord les équations dérivées

x-\-y-faz = i , x-\~y-\-zz=z i, x-J-y—2E= — i;

et comme les deux premières sont incompatibles, la surface n’a point decentre. En faisant z = odans [i], il vient sxy— fa — 2y=o;

et comme cette équation est celle d’uDe parabole, on n’en peut rien con-clure. Mais, en faisant o, on a x a —22*-j-2xz— 4 x + 3 s = o, équa-tion qui représente une hyperbole; donc la surface est un paraboloïdehyperbolique.

Exemple III. Soit encore l’équation

x*-faj 9s*— 2 xy — &rr-[-6yz-f- 2x — fa = o.

Les équations dérivées

x — y — 3 z = —1, y—x -\- 3 z — o , 9 z — 3 r 3 r — 2 ,

étant évidemment contradictoires, la surface n’a pas de centre. En cher-chant ses intersections avec les plans des coordonnées, on trouve

x*~\-y* —«■ 2 xy -f- 2x =: o ,x*-f- 9 z 2 — Gxz -j- ax — fa = o ,

r a +9 s ’+ 6 r z — fa = °-

Ces trois équations représentant des paraboles, on en conclut que la sur-face est un cylindre parabolique.

CHAPITRE XI.

DES SURFACES CONSIDÉRÉES d’aPRES I.EUR GÉNÉRATION.

Règles générales.

701. Es considérant les surfaces dans leur génération, on est conduità des questions qui exigent l’emploi de la plus haute analyse, et qui ontfait le sujet des plus beaux travaux de Monge. Il ne saurait entrer dans leplan de cet ouvrage d’exposer ici ces savantes et difficiles recherches; jeme bornerai à présenter les équations de quelques surfaces très simples,engendrées par des lignes qui se meuvent et qui peuvent changer de formed’après des lois données. Or voici, en général, la marche qu’il faudra suivre.