004 TROISIÈME PARTIE.
Mais quand on cherche la section de la surface par le plan de xy , il vientx, +r a — 2 +r + T=o, d’où y= — l±:(x — t)V/— i ;et, pour quesoit réel, il faut faire ar=-j.
Dans ce cas, la surface se réduit à une droite unique, qui doit être lamême que celle des équations [ 2 ] Ce résultat se déduit anssi de l’équation[ 1 ] en lui donnant la forme (*— I 4 — — 7Z + î)’ = o.
Exehtle V. Dans l’exemple précédent mettons, pour dernier terme,+ 1 au lieu de + 7 , on aura cette équation
x ’+y'+ 4 **— 3xz —y* — * +y +a +1 = a,
^ui représente un cylindre imaginaire; et c’est ce qu’on reconnaît sur-le»champ en l’écrivant ainsi :
(* - 4* - 4)*+ (y - 4 «+*)*+ 4=o-
699. Exemples dans lesquels le lieu des centres est un plan .
Exemple I. Soit l'équation
[ 1 ] xa ~Hr*~h 9^*— + 6 JZ — 6f z — * -{-y — 3z = o.
Dans ce cas, les trois équations dérivées se réduisent à une seule,x ~ y+3z — j=0;
par conséquent, tous les points du plan que cette équation déterminepeuvent être également pris pour centres. En coupant la surface par lepian de xy, il vient
jr’-J-j'' 9 —a xy — x -\-y = o, d’où y~x et y ■=. x — 1 .Puisqu'on a pour section deux droites parallèles , l'équation [i] représentedeux plans parallèles. Et en effet, si on la résout par rapport à x , on entire x zzzy — 3 z et x =y — 3x -J- i •
Exemple II. Si on a l'équation
[i] x3 +^* a + 4* a — + 4 XZ — 4x z — + — 4*+ i = o,
et qu'on la traite comme la précédente, on trouvera un plan unique dontl'équation est
x — y + ax — 1=0.
En élevant cette équation au carré , on reproduit la proposée.
Exemple III. Si l'équation donnée est
x ’+r’+*’_
2xy — 2 xz *4- vy z — ajr + ay + 2x-J-5 = o t
on reconnaîtra facilement qu'elle représente deux plans imaginaires: cequi, d'ailleurs, devient évident en l'écrivant ainsi(x -y — t — l)*+ 4 = 0.
500. Exemples dans lesquels il ny a point de centre .
Exemplb I. Soit proposé l'équation
N *’+ 3 r’+ 2î, + 2x r4- ky *— 3x — 4r — 3z =
Les équations qui donneraient le centre, s’il y en avait un, sonta*-t-ay:=3, 3r'+x + 2 i = a, 4*-f"4.X = 3.