ft08 TROISIÈME PARTIE.

valeurs de a et A pourront être différentes, ainsi que la forme de la fonc-tion indiquée par la lettre F.

Il est facile d’ailleurs de reconnaître à posteriori que cette équation [ 4 ],ou même celle-ci

[ 5 ] F (ax-\-by-\-cz-\-d t a'x-l-J/r-l-d') = o,

qui paraît plus générale, ne peut renfermer que des surfaces cylin-driques. En effet, pour satisfaire à cette dernière, il faut qu’on ail enmême temps

[ 6 ] ax-^by-^cz^d = «, =

* et & étant des quantités quelconques assujetties seulement a la rela-tion F («, £) = o. Or, quelques valeurs qu’aient <t et il est clair queles équations [6] déterminent des droites parallèles. Ainsi la surface peutêtre regardée comme engendrée par une droite qui se meut parallèle-ment à elle-même; par conséquent elle est une surface cylindrique.

707. Problème, ha direction de la génératrice étant connue , trouverl’équation du cylindre circonscrit à une surface donnée.

Ce problème serait le même que le précédent, si on connaissait lacourbe de contact. L’équation de la surface donnée est déjà une des équa-tions de cette courbe, et je la représenterai par

f7] f{x,y,z) = o.

On obtiendra une autre équation de la même courbe en exprimant quele cylindre est circonscrit à la surface donnée, condition qui exige que leplan tangent à cette surface, en chaque point de la courbe de contact,soit aussi tangent au cylindre. Il suit de là que ce plan doit contenir lagénératrice du cylindre, menée par le point de contact : car cette droite,devant être considérée comme étant à elle-même sa propre tangente, estévidemment contenue dans le plan tangent au cylindre. Supposons quef(pc t y t z) soit un polynôme algébrique; nommons X, Y, Z, ses troispolynômes dérivés; x,y, «, les coordonnées du point de contact, eta', y', les coordonnées courantes du plan tangent et de la génératricequi passent en ce point : on a

X(a/ — aO-J-Y^—y)-|-Z(t'— *) = o pour le plan,x J —x=a(*' — *), y' — y=zb(z' — z) pour la droite,a et b étant deux quantités données. Or, pour que la droite soit dans leplan, ces valeurs de x'—x et dey *'-—y doivent vérifier l’équation du plan ,quel que soit z; et de là il résulte l’équation

[8] • aX+b Y + Z = o,

laquelle achève de déterminer la courbe de contact. La question est alorsramenée à celle du n® précédent.

708. Considérons le cas particulier où la surface donnée est une sphèredont l’équation est

[9] **+r’+*’=>’’•

Alors on a X = ax, ï T = ay, Z = az; et l’équation [8] devient

[10] (7X-(-Ijy + 2 = 0.