GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 513

contenue. Mais alors il sera mieux de déterminer la tangente par l’inter-section des plans tangens aux deux surfaces.

722. Problème. Les équations d’une courbe étant données , reconnaîtresi cette courbe est plane ou a double courbui'e .

Déterminez comme dans le problème précédent le lieu des tangentes àcette courbe; et si elle est plane, ce lieu sera un plan.

Par exemple , soient les équations

[4] y — ax* z = a f x 7 -\-b f x-\-c r .

On aura p , (<=t)=2«<*.-{-&, 4/(*):=2a'. Par suite les équations [2]et [3J deviennent

f — $=z(iaet-\«b) (x — et), z — yz={ïa f cL-\- b ') —

>2 = y — a f et i d^b f et-^-c'

et c'est entre celles-ci qu’il faut éliminer et, $, y, pour avoir le lieu destangentes a la courbe des équations [43*

Par l’addition, on élimine sur-le-cliamp /S et y^ et on trouvey = {paet -|- h)x — act a -}- c, Z — (2 a r et -J- b') x — a'et 7 -4- </.

Puis on élimine et en retranchant ces dernières l’une de l’autre , après lesavoir multipliées respectivement par a ' et par a. 11 vienta'y — az = {ba '— ah' ) x -f- eu'— ac' ;

et comme cette équation représente unplan, on doit conclure que lacourbe donnée est plane. ^

Surfaces de révolution.

723. Les surfaces de révolution sont celles qu’on peut engendrer enfaisant tourner une ligne autour d’un axe fixe.

On nomme plans méridiens les plans qui passent par l’axe, et méridiensles intersections de ces plans avec la surface. Il est clair que tous les mé-ridiens sont égaux ; il est également clair que les perpendiculaires abais-sées sur l’axe , des différens points de la ligne génératrice, décrivent descercles dont les plans sont perpendiculaires à l’axe, et qui ont leurscentres sur cet axe. Ces cercles se nomment parallèles .

724 Dans les surfaces de révolution, le plan tangent est perpendicu-laire au plan méridien qui passe au point de contact. En effet, le plantangent doit contenir la tangente au parallèle qui passe au point de con-tact (648) : or le plan de ce parallèle est perpendiculaire au plan méridienqui passe par ce point, et la tangente est perpendiculaire au rayon quiest l’intersection des deux plans ; donc cette tangente est perpendiculaireau plan méridien ; donc le plan tangent l’est aussi.

725. Problème. Une courbe quelconque étant donnée , trouver l’équationde la surface qu’elle décrit en tournant autour de Vaxe des z.

Prenez les équations d’un cercle dont le plan soit perpendiculaire àl’axe des z , et qui ait son centre sur cet axe. Elles renfermeront deux in-déterminées qu’on assujettira à l’équation nécessaire pour que le cerclerencontre la génératrice. Entre cette équation et celles du cercle, éli-minez les deux indéterminées : l’équation résultante sera celle de la surface.

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