514 TROISIÈME PARTIE.

Soient les équations Je la génératrice,

[i] f(x,r,*) = o, f,(x,y,z) = o.

Pour plus de simplicité on supposera les axes rectangulaires , et on pourra

représenter le cercle par les équations

[a] z = a., x’+/* = /2,

Jans lesquelles a et y® sont deux indéterminées. Mais, pour que le cerclerencontre la génératrice , les équations [i] et [a] doivent être satisfaitespar les mêmes valeurs de x,y , z; et de là résulte entre « et /S une rela-tion que je représente par

[3] F {a,H)x=o.

C’est de cette équation qu’il faut éliminer a. et y®, au moyen des équations[a] ; et la surface demandée sera renfermée dans l’équation résultante

[4] F(z, x , +jy’) = o.

Si l’équation [3] peut se résoudre par rapport à a, et qu’on en tirea. ■= p (/S), l’équation [4] pourra s’écrire ainsi : (

* = f

Jusqu’ici la ligne génératrice était tout-à-fait quelconque. Supposonsmaintenant que ce soit une ligne située dans le plan de xz, et que seséquations soient £*

[5] y = o, f{z,x)=z o.

En prenant l’axe des z pour axe de révolution, les équations du cerclesont, ainsi qu’on l’a dit plus haut,

x = «, x’+.r 5 = £.

Pour qu’il rencontre la génératrice, on a la condition

f(*,V7i) = o,

f étant le même signe de fonction que pour la génératrice ; et, en élimi-nant a et y®, il vient pour la surface

/(*. V *’+r*) = o -

Ici /est encore le même signe de fonctionj ainsi, il suffit de mettreV au lieu de x , dans l’équation f(z , x) = o de la génératrice. Ce

résultat s’aperçoit sur-le-champ en remarquant, d’une part, que si lescoordonnées d’un point quelconque de la surfac e sont z , ce point

sera sur un parallèle dont le rayon e st e'gal à et, de l’autre,

qu’il doit exister, entre ze t\/ x a -j- y a , la même relation qu’entre les deuxcoordonnées de la génératrice située dans le plan de xz.

Quelle que soit la ligne génératrice , la solution du problème peutencore se présenter comme il suit. Pour la génératrice, prenons toujoursles équations

/(*..r. *) = », f,{x,y,z) = o;

et soient x ,y, z, les coordonnées d’un point quelconque de la surface derévolution ; et a', y J , z, celles du point qui a la même coordonnée z sur

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