GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 5l5

la génératrice. Le premier point est une des positions que vient occuperle second pendant la rotation de cette génératrice. Par conséquent il està la même distance de l’axe, et l’on doit avoir

Mais les équations de la génératrice donnent

f(x' t y / ,z) = o, f i (x' K y' t z) = o;

donc , pour connaître la surface, il n’y a qu’à éliminer x' f y', entre cesdeux équations et la précédente

Par exemple, supposons que la génératrice soit une droite ayant pouréquations

* = M* + N, y — M'z + N't

il faudra éliminer x' et y' entre les trois équations

x 3 +y* = x' ’+jy' a , a/ = Mz + N , f = M'z + N ' ;et, pour la surface, il vient

( Mz + Ny+ (M'z + N'y = +jr a .

Cette équation se simplifie en choisissant pour ligne des x celle surlaquelle se mesure la plus courte distance entre la génératrice et l’axe derévolution, qui est déjà pris pour ligne des z. Alors la génératrice ren-contre la ligne des a:, et est parallèle au plan àeyz. Eu conséquence,pour ses équations , je prendrai

x = a, y = bz:

c’est-à-dire que M = o , N = a t M'=: b , N' = o ; et par suite l’équationde la surface se change en

x'+.y'~b'z'-\-a\

Le lecteur a sans doute reconnu ici l’Jbyperboloïde de révolution à unenappe. La double génération de cette surface est évidente; car l’équationci-dessus reste la même, quoiqu’on y change b en — b.

726. Problème. L’axe et la génératrice d’une surface de révolution étantdonnés, trouver Véquation de cette surface, quelle que soit la position del’axe.

Soient [a] f(x , y, z) = o , /, (x,/, z) = o,les équations de la génératrice. Je désigne par a, b , c, les coordonnéesd’un point pris à volonté sur l’axe de révolution, et je mets les équationsde cet axe sous la forme

[é] x — n = A(z — c ), y —& = B(z — c).

L’équation d’un plan perpendiculaire à cet axe, et celle d’une sphèredont le centre est sur ce même axe, au point qui a a, b , c, pour coor-données, sont

[y] Ax + By+z = a, (x - a)'+(y _ *)*+(»-c)* = A

On peut considérer ces équations comme celles d’un parallèle quelconque

de la surface, pourvu qu’on établisse entre « et l’équation qui résulte "