Die Zusammensetzung und die Zerlegung der Kräfte.

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Seitenkräften parallel sein soll. Zunächst suchen wir die Resultante von zwei pa-rallelen Kräften. In diesem Falle muß nicht blos die Größe der Resultante gefundenwerden, sondern auch derjenige Punkt, an welchem die Resultante angebracht wer-den müßte, um dieselbe Wirkung wie die Seitenkräfte hervorbringen zu können;dieser Punkt heißt der Angriffspunkt der Resultante. Wenn nun, wie vorausgesetzt,die Resultante dieselbe Richtung wie die Seitenkräfte haben soll, so gilt folgenderSatz: Die Resultante zweier parallelen Kräfte ist gleich derSumme derselben; der Angriffspunkt der Resultante theilt dieVerbindungsger ade der Angriffspunkte der Kräfte in zwei Stücke,die sich umgekehrt verhalten wie die gegebenen Kräfte.

Beweis. Es seien (Fig. 45) P und Q die beiden auf die Punkte a und b wir-kenden Kräfte. Zum Zwecke des Beweises bringen wir in a und b zwei gleiche, aber ent-gegengesetzte Kräfte 8 an. Da diese einander aufheben, so ist die Resultante der vierKräfte P, S, Q und S auch die Resultante von P und Q. Die Resultante von P und Sist nach dem Kräfteparallelogramm — ad, die von S und Q — bf. Wenn wir die Resul-tante von ad und bf gefunden haben, so haben wir auch die von P und Q.man aber nach dem dritten Axiom den Angriffspunkt jederKraft in ihrer eigenen Richtung verlegen; die Wirkung vonad und bf wird also dieselbe bleiben, wenn wir dieseKräfte auf den unveränderlich mit ab verbundenen Punkt gwirken lassen. Es sei gh die an den Punkt g verlegteKraft ad unb gi die verlegte Kraft bf. Um die Resul-tante dieser beiden Kräfte zu finden, zerlegen wir gh nach

dem Kräfteparallelogramm in zwei Lomponenten, parallel ujf. . ./n

zu ab und zu P; die erste Com-ponente gl muß dann — S, diezweite.-k --- />sein; ebenso zerlegenwir gi in gn = S und gm = Q.

Die beiden Kräfte S heben einanderauf, weil sie einander gleich und ent-gegengesetzt sind; die beiden Kräftegk und gm wirken nach einer Rich-tung auf einen Punkt, folglich istihre Resultante gleich ihrer SummeP + Q- Hiermit ist der erste Theildes Lehrsatzes bewiesen. Für denzweiten Theil benutzen wir dieAehn-lichkeit der Dreiecke ghk und gac, sowie der Dreiecke gmi und geb ; hieraus ergeben sich fol-gende zwei Proportionen: gk-.hk oder P:S=*gc:ac, woraus S. gc — P . ac, undgm : mi oder Q: S — gc : bc, woraus S. gc — Q. bc. Durch Gleichsetzuug der zwei letzteneinander gleichen Werthe erhalten wir P.ac = Q.bc oder P:Q = bc:ac, womit auchder zweite Theil des Lehrsatzes bewiesen ist.

Vermittelst dieses Satzes kann man eine auf einen Körper wirkende Kraft in zweiderselben parallele Seitenkräfte zerlegen, deren Summe indeß immer der gegebenen Kraftgleich sein muß. Außerdem ergibt sich aus demselben, daß die parallele Resultante vielerparallelen Kräfte gleich der Summe derselben ist; den Angriffspunkt dieser Resultante findetman, indem man zuerst nach dem Lehrsätze den Angriffspunkt der Resultante zweier Kräftesucht, dann diesen Punkt mit dem Angriffspunkte der dritten Kraft verbindet und wiedernach dem Satze den Angriffspunkt der Resultante jener ersten Resultante und der drittenKraft sucht; dann hat man den Angriffspunkt der Resultante dreier Kräfte. Fährt man indieser Weise fort, so findet man den Angriffspunkt der Resultante vieler parallelen Kräfte,die auf einen Körper wirken.

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Den Angriffspunkt der Resultante mehrerer parallelen Kräfte nennt man denMittelpunkt der parallelen Kräfte; derselbe hat folgende zwei aus seinerDefinition hervorgehende Eigenschaften: l. Bringt man im Mittelpunkteder parallelen Kräfte eine Kraft gleich der Summe derselben an,so hat diese dieselbe Wirkung wie alle Seitenkräfte zusammen.2. Wenn man in dem Mittelpunkte der parallelen Kräfte eineKraft anbringt, welche der Resultante gleich, aber entgegengesetzt