§ 7' Die quadratische Punkt- und Strahleninvolution.

61

Um nun zu einem Punkte P den zugehörigen zu bestimmen, construirenwir den Kreis PAB ; der Schnittpunkt dieses Kreises mit der Geraden G ist dergesuchte Punkt P' , denn es istOP-OP' = OP x -OP x '. a

Construiren wir die beidenKreise, welche durch A und Bgehen und G berühren, sosind die Berührungspunkte dieAsymptotenpunkte der Invo-lution; wir erhalten sie be-kanntlich, indem wir OF(= F x O) als das geometrischeMittel aus OA und OB con-struiren.

6 . Wir wollen nun unter-suchen, ob es in einerStrahleninvolution Strah-lenpaare giebt, derenStrahlen auf einandersenkrecht stehen.

Bestimmen sich die Winkel <p, welche die Strahlen zweier Paare N t und N 2mit einem festen Nullstrahle bilden, aus den beiden quadratischen Gleichungen1. N x = a 0 tang 2 <p -+- 2 a x tang<? 4- a 2 = 0,

f; f/o'Fi

(M. 384.)

N 2 es b 0 tang 2 y -t- 2 b , tang 9

0 ,

( r i a i -+- r 2 b a ) — 0 .-r 2 b 0 )\ dies soll nach

so erhält man bekanntlich (No. 2) die Winkel 9 jedes Strahlenpaares durch ge-eignete Wahl der Zahlen r x und r 2 aus den Wurzeln der Gleichung

3. N ss r x N x 4- r 2 N 2 = 0.

Soll diese Gleichung durch zwei auf einander senkrechte Strahlen erfülltwerden, so gilt, wenn <p und <p' der Gleichung genügen, die Beziehungtang cp' = tang (9 4 - 90°) = — 1 : tang cp, oder

4. tangy' • tangy = — 1.

Die Gleichung 3. lautet vollständig ausgeschrieben:

ZVss(ri « 0 4- r 2 b 0 )tang 2 <? 4- 2 (r x a t + r 2 b x )tang 9 -Das Produkt ihrer Wurzeln ist {r x a 2 4 - r 2 b 2 ) : ( r x a 0

4. gleich der negativen Einheit sein; daher hat man die Bedingungsgleichung:

r x a 2 4- r 2 b 2

—-= — 1, aus welcher folgt:

r x a 0 4- r 2 b 0

5. r x ( a 0 4- a 2 ) 4- r 2 (b 0 4- b 2 ) = 0.

Da es nur auf das Verhältniss der Zahlen r x , r 2 ankommt, so kann man setzen

6. r x = b 0 4 - b 2 , r 2 = — (« 0 4- a 2 ).

Hieraus folgt: In jeder quadratischen Strahleninvolution giebt esein und nur ein Paar auf einander senkrechte Strahlen; diese Strahlenwerden als die Achsen der Involution bezeichnet.

Eine Ausnahme tritt nur dann ein, wenn die Gleichung 5. identisch erfülltist, d. i. wenn a 2 = — a 0 , b 2 = — b 0 ; dann sind die Strahlen der Paare N x ,N 2 , sowie überhaupt die Strahlen jedes Paares auf einander senkrecht.Eine solche Strahleninvolution wird als Kreissystem bezeichnet.

7. Die Gleichung, durch welche die Achsen bestimmt werden, ergiebt sichdurch Einsetzung der Werthe 6. in N — 0 zu: