III. Theil.

Differentialgleichungen.

§ 23. Allgemeine Sätze über Differentialgleichungen erster Ordnung mit

zwei Veränderlichen.

1. Unter einer Differentialgleichung wird eine Gleichung verstanden, inwelcher Differentialquotienten abhängiger Variabein in Bezug auf unabhängige(neben den Variabein selbst und constanten Grössen) Vorkommen.

Ist jede abhängige Veränderliche als Function nur einer Veränderlichen be-trachtet, so bezeichnet man die Differentialgleichung als gewöhnliche Differential-gleichung zum Unterschiede von partialen Differentialgleichungen, welchedie partialen Differentialquotienten von Functionen mehr als einerVariabein enthalten.

2. Wenn eine Differentialgleichung zwischen zwei Variabein den Differential-quotienten «ter Ordnung der abhängigen Variabein und keinen höherer Ordnungenthält, so wird sie als Differentialgleichung zzter Ordnung bezeichnet.

Eine Gleichung zwischen zwei Variabein, die weder den Differentialquotienten«ter Ordnung der unabhängigen Variabein noch höhere Differentialquotientenenthält, und die so beschaffen ist, dass alle Werthe der Variabein und des 1.,2. 3., . . . bis n ten Differentialquotienten, die dieser Gleichung, sowie der durcheinmalige oder wiederholte Differentiation daraus hervorgehenden Gleichungengenügen, auch einer gegebenen Differentialgleichung zzter Ordnung Genüge leisten,wird als ein Integral der Differentialgleichung «ter Ordnung bezeichnet.

3. Wenn ein Integral einer Differentialgleichung erster Ordnungzwischen zwei Veränderlichen x, y so beschaffen ist, dass dieselben Systeme vonWerthen x, y, dy : dx der Differentialgleichung, sowie auch dem Integrale unddem aus dem Integrale folgenden Werthe von dy : dx genügen, so bezeichnen wires als das allgemeine Integral der Differentialgleichung.

Djurch die Gleichung F{x,y,y) = 0 werden drei Veränderliche x, y, y' miteinander verknüpft; betrachten wir x und y als rechtwinkelige Punktcoordinaten,so können wie die Differentialgleichung geometrisch so deuten, dass durch die-selbe jedem Punkte x, y der Ebene eine oder mehr als eine Richtung y’ zu-geordnet wird; diese Richtung kann durch eine Gerade T vertreten werden, diedurch den Punkt#, y so gezogen wird, dass tang{x, 7 1 ) = y '; dann ist also durchdie Differentialgleichung jedem Punkte der Ebene eine durch den Punkt gehendeGerade oder eine bestimmte Anzahl solcher Geraden zugeordnet.

Ein Integral <I>(#, y) = 0 der Differentialgleichung repräsentirt eine Curve,die in jedem ihrer Punkte von einer zu diesem Punkte durch die Differential-gleichung zugeordneten Geraden berührt wird. Enthält die Gleichung einewillkürliche Constante C, so gehört zu der Gleichung nicht eine individuelleCurve, sondern eine Gruppe von unendlich vielen Curven, die erhalten werden,

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